Методические особенности изучения длины и единиц ее измерения на уроках математики в начальной школе. Изучение величин в начальной школе Проект величины в начальной школе

математика начальный школа

Общая характеристика методики изучения величин младшими школьниками

Величина, так же как и число, является основным понятием курса математики начальных классов, в задачу которого входит формирование у детей представления о величине как о некотором свойстве предметов и явлений, которое прежде всего связано с измерением.

В 1-3 классах учащиеся получают представление о таких величинах, как длина, масса, емкость, время, площадь, и о единицах ее измерения. В процессе решения задач они знакомятся с ценой, количеством, стоимостью, скоростью, расстоянием, производительностью и т.д.

В процессе изучения темы важно добиться, чтобы учащиеся научились четко дифференцировать такие тесно связанные между собой, но разные по своей сути понятия, как "величина" и "число". Хотя формирование представлений о той или иной конкретной величине и о способах ее измерения имеет свои особенности, тем не менее, целесообразно выделить общие этапы, которые имеют место при изучении каждой из величин:

1. Выяснение и уточнение имеющихся у детей представлений о данной величине (обращение к опыту ребенка).

2. Сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использования различных мерок).

3. Знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором.

4. Формирование измерительных умений и навыков.

5. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6. Знакомство с новыми единицами величины, перевод однородных величин, выраженных в единицах одних наименований, в другие, перевод величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8. Умножение и деление величины на число.

С целью формирования представлений о разного рода величинах проводятся практические работы, используются упражнения, применяются демонстрационные и индивидуальные наглядные средства, при этом варьируются коллективные, индивидуальные и групповые формы работы на уроке.

Значение с величинами единицами их измерения имеет не только практическое значение: оно предоставляет большие возможности для формирования умения видеть проблему и находить пути ее решения, тем самым способствуя развитию познавательных способностей учащихся.

Общая характеристика методики изучения длины младшими школьниками

Знание мер длины, умение находить длину, ширину, высоту и т. п. необходимы учащимся и в быту, и при овладении профессией. Со всеми мерами длины и их соотношениями учащиеся начальной школы знакомятся в течение всего времени обучения в младших классах, закрепление же этих мер проходит в течение всех лет обучения в школе.

Знакомство с понятиями длинный - короткий, широкий - узкий, высокий - низкий учащиеся получают еще в дошкольный период, коррекция этих понятий осуществляется в дочисловой период. К сожалению, многие дети, приходя из детского сада, считают, что длина, ширина и высота это разные величины.

План изучения темы и время введения

1. Понятие длины как свойства предметов. Прямая и кривая линии.

2. Отрезок. Сравнение отрезков.

3. Сантиметр.

4. Дециметр.

6. Миллиметр, километр.

7. Упорядочивание представлений о длине и единицах ее измерения.

Задачи изучения темы

1. Сформировать понятие длины как свойства предметов.

2. Познакомить с единицами длины и соотношениями между ними.

3. Сформировать умения измерять длину данных отрезков и чертить отрезки заданной длины, сравнивать длины.

4. Научить выражать величины в меньших и больших единицах.

5. Научить выполнять действия над величинами устно и в столбик.

Предварительно отметим, что измерение длин различными мерками предусмотрено программой детского сада, поэтому многие дети уже знакомы с измерением отрезков различными мерками.

Подготовительной работой к введению понятия длины отрезка должны быть упражнения следующего характера. Учитель с первых уроков уточняет отношения длиннее - короче, шире - уже, дальше - ближе. Именно этому помогают упражнения на сравнения предметов по длине (кто выше? что толще? что длиннее?). Важным шагом в формировании понятия длины является знакомство с прямой линией и отрезком как "носителями" линейной протяженности. Сравнивая отрезки "на глаз", дети получают представления о равных и неравных отрезках.

При введении (или обобщении) понятия «длина» внимание учащихся необходимо сосредоточить на самом термине «длина», разъяснив соответствующим образом его значение. Так, при проведении беседы можно предложить учащимся сравнить длину карандаша и ручки, которые лежат у них на партах. При сравнении используется прием приложения. Затем можно предложить сравнить по картинке длину ручки и кисточки (ручка короче, кисточка длиннее), сравнить длину красного карандаша и ручки (красный карандаш короче, ручка длиннее). В данной ситуации дети используют сравнение длин предметов «на глаз», т.к. изображения нельзя сравнить ни наложением, ни приложением. Далее представления учащихся уточняются: нарисованные предметы обладают свойством, которое называется длина. Данные предметы можно сравнивать по длине. Отрезки тоже можно сравнивать по длине. На рисунке должно быть хорошо видно, длина какого отрезка больше, а какого меньше. Эти способы сравнения («на глаз», наложением и приложением) можно назвать неопосредованными способами сравнения.

При использовании мерок (посредников) мы будем применять опосредованные способы сравнения.

Для знакомства с другими способами сравнения длин отрезков рекомендуется организовать практическую работу. Используя полоски из различных материалов, различных цветов, различной длины как модели отрезков, учащиеся сравнивают длины отрезков с помощью различных мерок. Меркой могут выступать узкие полоски бумаги, палочки разной длины и т.д.

При использовании различных мерок для измерения одного отрезка учащиеся получают различные числовые результаты. В процессе выполнения различных практических упражнений они должны осознать зависимость числового результата от величины той мерки, с помощью которой измерялся данный отрезок.

На уроке это можно легко проверить, рассмотрев следующую ситуацию (предложена Истоминой Н.Б.).

На доске начерчен отрезок. Трое детей по очереди измеряют его полосками разной длины. Коля - красной полоской, Миша - зеленой и Дима - белой. В результате измерения Коля получил 6, Миша 3, Дима 1. Кто из них оказался прав? Учащиеся заметили, что каждый мальчик был бы прав, если бы указал в ответе единицу измерения: 6 кр., 3 зел., 1 бел.

Эту же работу можно провести по индивидуальным карточкам, на которых начерчен один и тот же отрезок. Например, отрезок 4 см. Учитель просит учащихся измерить его. Одни учащиеся измеряют данный отрезок одной клеточкой, другие двумя, а третьи за единицу измерения выбрали 4 клетки. Результат измерения получился разный. На доске делается такая условная запись:

После проведения такого рода практических работ у ребят возникает проблема, как же договориться, как измерять длины, чтобы при измерении равных отрезков у всех были одинаковые результаты? Делается вывод, что необходима единая единица длины.

Такой единицей измерения является сантиметр. Учитель демонстрирует модель сантиметра в виде узкой бумажной полоски, части спички, кусочка цветной проволоки длиной 1 см. Сантиметр сравнивается с шириной пальца, с длиной двух клеточек тетради.

Затем знакомит учащихся с линейкой, с правилами пользования данным инструментом для измерения длин отрезков. На парте у каждого ученика должна быть модель сантиметра, изготовленная учителем заранее. Далее эти задачи решаются при помощи масштабной линейки. Ее могут разметить и сами дети (это интересно). При откладывании отрезков данной длины по линейке на первом этапе ученик должен сначала "прошагать" этот отрезок по сантиметрам, только потом приступать к черчению.

Итак, первой единицей измерения отрезков (при изучении чисел от 1 до 10) является 1 см. Учитель предлагает начертить дома еще один отрезок длиной 1 см и изготовить его модель из цветной бумаги или проволоки. При помощи модели ученики должны уметь решить следующие задачи:

1. Измерить заданный отрезок. При этом ученик должен: а) точно приложить конец модели сантиметра к одному из концов отрезка; б) с помощью карандаша на отрезке отметить другой конец модели сантиметра; в) от этого конца продолжить откладывать мерку до тех пор, пока не последняя отметка не совпадет со вторым концом отрезка; г) пересчитав количество вложенных в отрезок моделей, сделать вывод о длине отрезка в см).

2. Начертить отрезок заданной длины. При этом ученик должен: а) провести по линии тетради прямую; б) отметить на ней точку отсчета; в) в нужном направлении откладывать модель, ставя карандашом засечки, отметить второй конец отрезка.

Такое пошаговое построение позволяет сформировать у детей необходимые в дальнейшем представления о предупреждении ошибок при дальнейшем измерении.

После ознакомления детей с сантиметром, способом измерения длины отрезков сантиметровой линейкой, можно перейти к выполнению упражнений.

Задание может быть сформулировано так: Рассмотрите рисунок в задании 3. Каким инструментом можно измерять длину отрезков? Какие правила вы должны выполнять при измерении длины отрезков линейкой? Найдите длину отрезка слева, справа.

Затем учитель знакомит учащихся с построением сантиметра в тетради. Конечно, по стандартным клеточкам отрезок длиной 1 см построить не сложно. Рассмотрим последовательность работы. Учитель предлагает детям поставить точку в любом углу клеточки, затем отступить от нее 2 клеточки (вправо, влево, вверх или вниз), поставить вторую точку и соединить их отрезком. Полученный отрезок и будет равен 1 см.

Обратите внимание на то, что 1 см ученики должны уметь показать не только от 0 до 1, но и от любого деления: от 4 до 5, от 8 до 9. Кроме того, учащиеся должны видеть не только горизонтальные отрезки и измерять их длину. Положение отрезков обязательно должно варьироваться. Это же относится и к цвету карандаша, которым начерчен отрезок. Также следует учесть и то, что строить отрезки дети должны уметь не только на клетчатой и линованной бумаге, но и на гладкой в различных направлениях. Для закрепления материала с этой целью можно предложить детям практическую работу на индивидуальных карточках:

Сначала длины отрезков должны выражаться целым числом сантиметров.

Внимание!

Основные ошибки, которые допускают учащиеся при построении и измерении отрезков:

а) неправильная установка линейки (не с нуля, а с начала линейки);

б) начало отсчета с позиции 1, а не ноль;

в) наклон головы влево или вправо, что искажает результат (смотреть на линейку необходимо строго вертикально).

В процессе овладения навыками измерения отрезков при помощи линейки появляется возможность использовать единичные отрезки как счетный материал для сложения и вычитания, что позволяет проводить пропедевтическую работу к введению числового луча и числовой прямой (направление!), откладывание и изображение чисел при помощи линейки.

Следующая единица измерения длины - дециметр вводится при изучении чисел от 11 до 20. Мотивацией является потребность измерять соответствующие длины (длину парты). Моделью сантиметра длину парты измерять долго. Нужна новая единица измерения. Методика аналогична методике ознакомления с сантиметром. Изготавливается модель (картон, дерево). Сначала учитель показывает модель в 1 дм, а затем 1 дм сравнивает с 1 см. Затем вместе с детьми путем прикладывания просчитывается, сколько сантиметров в 1 дециметре. Делается вывод, что 1 дм = 10 см и, наоборот, 10 см = 1 дм. Чтобы учащиеся лучше запомнили протяженность 1 дм, надо, чтобы каждый изготовил из плотной бумаги дециметр, вырезал его, измерил им ленту, бечевку и другие предметы. Учащихся знакомят с обозначением дециметра при числах 1 дм, 2 дм и т.д. Моделью дециметра измеряют отрезки, сначала содержащие лишь целое число дм, а потом - дм и см с использованием уже двух мерок - дм и см.

В результате получают составное именованное число. Рассматривается выражение одних именованных чисел через другие. 13 см = … дм … см.

Рассуждения проводятся на основе нумерации чисел в пределах 20. 1 дм = 10 см = 1 десяток см. Следовательно, дециметров будет столько же, сколько десятков в числе 13. В числе 13 один десяток и 3 единицы. Значит 13 см = 1 дм 3 см.

С единицей измерения длины метром дети знакомятся после изучения дециметра при изучении чисел от 21 до 100.

Мотивация к введению новой единицы измерения - потребность измерить длину и ширину класса, коридора и т.д. Попробовав измерять уже знакомыми единицами длины сантиметром и дециметром, дети говорят, что это очень неудобно, получаются большие числа. Учитель просит 3-4 человека измерить длину и ширину класса шагами и результаты измерений, т.е. количество шагов, записать на доске. Сначала дети определяют длину и ширину класса шагами. Они считают количество шагов, уложившихся по ширине или длине класса. Потом можно измерить длину и ширину класса веревкой. Дети растягивают веревку и считают количество шагов от начала до конца веревки и т.д. Когда дети закончат измерять расстояние шагами, запишут результаты на доске, учитель обращает внимание на результаты. Почему они разные? Потому что у всех разные шаги! Нужна новая единица измерения. Потом детям демонстрируется деревянный метр, предметы длиной в 1 м. Проводится практическая работа по измерению длины и ширины класса деревянным метром. Можно продемонстрировать рулетку, складной метр, портняжный "метр". Кроме того, детям можно сказать, что метр можно сделать самим иликупитьв магазине. Метр может быть сделан из дерева (деревянная линейка длиной 1 м), из металла (метр металлический), из клеенки, из бечевки и т.д.

Необходимо добиться, чтобы учащиеся не относили длину 1 м только к одному предмету, например к деревянной линейке. Нужно довести до сознания учащихся, что метр - это определенное расстояние, протяженность.

Во время изучения темы можно использовать игровой момент. Например, использовать «муравьиные», «лилипутские», «мамины», «папины», «мышкины», обычные и «гигантские» шаги. Можно пронаблюдать с детьми, что чем больше мерка, тем меньше результат и наоборот. Если же всем взять одинаковые шаги и определить ими длину, - то получатся одинаковые числа.

Также можно вспомнить мультфильм «Тридцать восемь попугаев», где длина удава измерялась и в «попугаях» и в «мартышках» и в «слонятах». При этом можно выяснить, прав ли был удав, когда сказал: «А в попугаях-то я гораздо длиннее!»?

На уроке труда целесообразно организовать работу по закреплению единицы длины метр так, чтобы каждый ученик мог измерить длину и ширину класса. Каждый ученик получает полоску из плотной бумаги длиной 1 м. На полоске написано: 1 м. Дети должны измерять длину и ширину класса по плинтусу, не отклоняясь в сторону (по прямой линии, а не по ломаной, укладывая метровые полоски и делая после каждого метра отметку мелом. Затем они сосчитывают количество метров (1 м, 2 м и т. д.) и записывают результаты измерения на доске. У всех учеников получился один и тот же результат. Таким образом происходит закрепление единицы длины метр. «Что еще можно измерить метрами?» - спрашивает учитель иотмечает,что метр - это мера длины.

Далее проводится такая работа: учащиеся сравнивают метр с расстоянием от плеча до кончиков пальцев противоположной вытянутой руки, разводят руки, показывая приблизительно меру длины 1 м, сравнивают свой рост с метром, называют предметы, имеющие длину 1 м, изготовляют метр из плотной бумаги и с его помощью производят измерения. Эталон метра должен находиться в классе. Учащиеся, сравнивая зрительно измеряемый предмет с метром, развивают свой глазомер. Перед измерением того или иного предмета ученик должен определить его размеры на глаз, а потом измерить с помощью линейки.

Учащиеся учатся отмеривать («Отмерь 1 м, 3 м, 5 м тесьмы») и измерять отрезки, предметы («Найди длину ленты»). Измерения проводятся в метрах. Учитель также знакомит учеников с записью чисел, полученных при измерениях (1 м, 3 м и т.д.). Уже на этом этапе учащиеся получают первое представление о приближенных измерениях. Если при измерении получается остаток немного больше метра, то он отбрасывается. Если же остаток составляет почти метр, то он принимается за целый метр.

Измерения не должны быть самоцелью. Их обязательно нужно связать с какой-либо жизненной ситуацией, с игрой (например, с игрой «Магазин»). В качестве товаров в таком магазине могут быть лента, тесьма, резинка, лоскуты материи, полоски бумаги.

На дом целесообразно задать измерить что-либо дома: высоту дверей, холодильника, длину кухни, ширину коридора и т.д. Дети с удовольствием занимаются измерением.

На следующих уроках необходимо установить соотношения между м, дм и см. Причем имеет смысл работать по равенствам, как в прямом, так и в обратном прочтении. Таким образом, ознакомившись с единицами измерения длины - сантиметром, дециметром, метром, школьники учатся выражать длину не одной, а несколькими единицами измерения.

Вместе с детьми составляется таблица:

С самого начала необходимо учить детей определять не только длину, но и ширину, высоту, глубину. При этом важно следить, чтобы ученики при измерении меняли положение линейки, а не измеряемого объекта.

С миллиметром и километром дети знакомятся при изучении чисел в 1000 почти одновременно. Мотивация - потребность измерять отрезки, длиной меньшие см и большие расстояния.

Наглядное представление о миллиметре дети могут получить, рассматривая линейку с миллиметровыми делениями или миллиметровую бумагу. Сразу же устанавливают соотношения между мм и см. Проводится измерение отрезков в см и мм.

Методика изучения темы может быть такой: сначала учитель показывает, что для большей точности измерения необходимо иметь более мелкую единицу измерения длины, чем сантиметр. Для этого он предлагает, например, измерить толщину листа картона. Затем он раздает учащимся карточки, на которых начерчены два отрезка друг под другом, один длиной 4 см, а другой длиной 4 см 5мм, и спрашивает, одинаковые ли отрезки, какой отрезок длиннее, какой короче. Затем учитель предлагает измерить отрезки и спрашивает: «Какова длина верхнего отрезка? Какова длина нижнего отрезка?»

При определении длины нижнего отрезка получилось 4 см и остаток меньше 1 см. «Можно ли измерить остаток? - спрашивает учитель. - Какими единицами измерения длины его можно измерить?» Некоторые учащиеся знают единицу измерения длины - миллиметр. Учитель показывает учащимся миллиметр на миллиметровой бумаге, на линейке и просит измерить остаток полоски в миллиметрах. Учащиеся производят также измерение и черчение отрезков в миллиметрах. Слово «миллиметр» записывается на доске и в тетрадях, учитель знакомит с обозначением этого наименования при числах 1 мм, 5 мм и т. д.

Необходимо связать изучение новой единицы измерения с уроками труда. Сначала следует попросить учащихся привести самостоятельно примеры, в которых требуется произвести измерение в миллиметрах. Например, если стекольщик вырежет стекло на 2 мм или 3 мм длиннее, то оно не войдет в раму; если сапожник сделает набойку на 3 мм или 5 мм шире каблука, то она будет торчать и испортит вид ботинка, и т.д.

Соотношение сантиметра и миллиметра учащиеся устанавливают сами, подсчитывая по линейке, сколько миллиметров содержится в 1 см. Затем на миллиметровой бумаге они отсчитывают 10мм и отмечают отрезок длиной 1 см. Также с помощью миллиметровой бумаги дети производят измерения в миллиметрах сторон геометрических фигур, ученических принадлежностей (карандаша, ручки и т.д.). Результаты измерений учащиеся записывают в виде чисел с употреблением как крупных, так и более мелких единиц измерения.

Надо больше предлагать заданий на измерение и построение отрезков, меньших 10мм. Это не только способствует воспитанию навыков точного измерения, но и всегда заставляет помнить о начале отсчета по шкале.

При измерении отрезков всех длин нужно давать задания на развитие глазомера: "Определи длину отрезка на глаз. Измерь длину отрезка. Сравни полученные результаты".

Далее учащиеся получают знания и о соотношении миллиметра с другими единицами мер длины. Закреплению соотношения мер длины способствуют упражнения на выражение крупных единиц измерения в мелких и, наоборот, мелких единиц измерения в крупных, которые могут сопровождать измерение и вычерчивание отрезков. Например, измерив основание прямоугольника, ученик получил 8 см 5мм. Учитель просит выразить это число в миллиметрах.

Километр - единица длины, с которой учащиеся знакомятся после изучения более мелких единиц измерения (1 м, 1 дм, 1 см, 1 мм). Учитель выясняет, какие единицы длины уже знают учащиеся, какие величины можно измерить каждой из известных им единиц, спрашивает, какими единицами измерения длины можно измерить расстояние между городами, селами и т.д. Большинство учащихся правильно называют единицу измерения. Однако почти никто не имеет реального представления об этой единице измерения длины. Представление о километре учащиеся получают лишь тогда, когда они увидят расстояние в 1 км, пройдут этот путь, сами установят связь между расстоянием в 1 км и временем, необходимым, чтобы пройти это расстояние.

Все это говорит о том, что понятие о километре нельзя дать учащимся в классе. Урок, на котором учитель знакомит учащихся с новой единицей измерения длины - километром, должен проходить вне школы. Учитель заранее намечает, где ему удобнее познакомить учащихся с километром. Намечает объект, который находится от школы на расстоянии 1 км. Желательно, чтобы, путь проходил по прямой линии. Учитель строит учащихся парами и сообщает, что сейчас они пройдут путь, равный 1 км. Он замечает время, которое потребуется, чтобы пройти этот путь, а также обращает внимание ребят на объекты, мимо которых они проходят. Когда пройден путь в 1 км, учитель снова отмечает время и сообщает: «Мы прошли 1 км, нам понадобилось для этого 15 мин». На обратном пути учитель предлагает посчитать, сколько шагов содержится в 1 км. Первая пара отсчитывает 100 шагов и уходит в конец колонны. Вторая пара также отсчитывает 100 шагов и т.д.

Итак, при ознакомлении с километром важно провести практические работы на местности, чтобы сформировать представление об этой единице измерения длины. Для этого можно: отмерять расстояние в 1 км и пройти его вместе с детьми, посчитать, сколько это шагов, провести экскурсию на автовокзал, чтобы узнать расстояние до ближайших населенных пунктов. Этот материал потом удобно будет использовать при составлении задач. Например: «За 15 минут мы прошли 1 км. Сколько км мы пройдем за 1 час, если будем двигаться точно также?»

На следующем уроке учащиеся должны (по вопросам учителя) вспомнить, какое расстояние они вчера прошли, сколько времени затратили на путь длиной 1 км. Учитель называет еще ряд объектов, которые находятся на расстоянии 1 км от школы. Затем дети подсчитывают число шагов в 1 км. Дети знают длину своего шага. Длину шага умножают на 1 000. Подсчитывают, сколько метров они прошли. Погрешность в 100-300 м считается допустимой. Учитель отмечает, что если этот путь измерить метрами, то окажется, что в 1 км содержится 1 000 м.

Путь в 1 км учащиеся должны проходить неоднократно. На прогулке, экскурсии учитель и воспитатель должны заметить время выхода учащихся из школы, а через 12-15 мин сказать им: «Вы идете уже 15 мин. Какое расстояние за это время вы прошли?»

К концу третьего года обучения учащиеся познакомятся со всеми единицами длины, или линейными мерами, и с их соотношениями. Эталоны линейных мер 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м и таблица их соотношений должны постоянно быть в классе.

Сводная таблица соотношений между всеми единицами длины.

Учащиеся должны уметь применять эту таблицу для выражения найденного результата в различных единицах и для решения практических и учебных задач.

Важно! Обратите внимание на то, что в третьем классе выразить длины отрезков с использованием крупных единиц в меньших единицах можно уже двумя способами:

815 cм = ... дм... см

1) 5 м 7 дм = ... мм.

Рассуждения детей могут быть такими: 1 м = 1 000 мм, а 5 м = 5000 мм; 1 дм = 10 см, а 7 дм =70 см; 1 см = 10 мм, 70 см =700 мм; 5000 мм+700 мм= 5700 мм;

2) 3800 мм=... дм. 100 мм= 1 дм. В числе 3800 содержится 38 сотен. Значит, 3800 мм =38 дм;

3) 2005 м = ... км... м. 1 000 м = 1 км. В числе 2005 содержится 2 тысячи, значит, 2005 м = 2 км 5 м;

4) 8 км 75 м = ... м. 1 км = 1 000 м, 8 км =8 000 м и еще 75 м. Итого получится 8075 м;

5) 5 км 80 м... 5 км 800 м.

5 км =5 км, 80 м<800 м, поэтому 5 км 80 м <5 км 800 м;

6) 6 м 5 дм... 6 м 50 см.

6 м =6 м, 5 дм =50 см, поэтому 6 м 5 дм = 6 м 50 см;

7) 4 дм 8 см... 4 дм 70мм.4 дм = 4 дм, 8 см > 70 мм, значит, 4 дм 8 см > 4 дм 70 мм.

Учитель может привести примеры, когда непосредственное измерение длины невозможно, например расстояние между населенными пунктами, кораблями, планетами и др. В таких случаях используются специальные приборы, справочники. Иногда расстояние между пунктами вычисляют по скорости движущегося тела и времени, которое оно затрачивает на прохождение этого расстояния.

Итак, понятие «длина отрезка» формируется у детей в процессе математической деятельности: математической организацией эмпирического материала (здесь у детей формируется потребность в измерении длины); логической организации математического материала (вводится единица измерения); применения математической теории (решаются задачи на измерение длин различных отрезков). Таким образом, уже в начальной школе учащиеся получают четкие представления о длине, овладевают умением перевода величин, выраженных в единицах одних наименований, в другие, овладевают измерительными навыками.

Полученные знания, умения и навыки закрепляются в тесной связи с изучением нумерации по концентрам. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований, рассматривается в концентре "Многозначные числа" при изучении арифметических действий.

Усвоение основных признаков понятия величины достигается посредством использования различных практических заданий познавательного характера, представляющих своего рода проблемные ситуации, рассмотрение которых позволяет подвести учащихся к самостоятельным выводам.

При работе над темой длина, должна выполняться следующая система упражнений, раскрывающая некоторые свойства понятия длины отрезка, а также подтверждающая справедливость математических законов и для значений величин.

I. Упражнения, иллюстрирующие упорядоченность множества отрезков отношением «иметь меньшую длину».

1. Сравните красный и синий отрезки. Какой отрезок короче? Верно ли, что красный отрезок длиннее синего; синий отрезок длиннее красного? (Это упражнение иллюстрирует свойство асимметричности отношения «меньше».)

2. Сравни красный, синий и зеленый отрезки. Назови самый короткий, самый длинный отрезок. Что можно сказать о третьем отрезке относительно самого длинного? Свойство транзитивности отношения «меньше» раскрывается при выполнении следующих заданий. Сравни по длине зеленый и синий отрезки. (Зеленый отрезок короче синего.) Сравни синий и красный отрезки. (Синий отрезок короче красного.) Сравни длины зеленого и красного отрезков. (Зеленый отрезок короче красного. Почему?) Если по длине зеленый отрезок меньше синего, а синий меньше красного, то длина зеленого отрезка меньше длины красного - подводит итог сравнения длин отрезков учитель.

II. Упражнения, приводящие к понятию длины отрезка.

1. Определите длину каждого отрезка.

2. Вычислите, на сколько сантиметров длина первого отрезка меньше длины второго отрезка.

III. Упражнения, иллюстрирующие переместительное свойство сложения длин отрезков.

Расстояние от Москвы до Свердловска 1667 км, а от Свердловска до Новосибирска 1524 км. Чему равно расстояние от Москвы до Новосибирска? Чему равно расстояние от Новосибирска до Москвы? При решении этой задачи составляются такие выражения:

1667+1524 (км) - расстояние от Москвы до Новосибирска;

1524+1667 (км) - расстояние от Новосибирска до Москвы. Решение этой задачи подтверждает свойство переместительности сложения во множестве длин отрезков.

IV. Упражнения, иллюстрирующие сочетательное свойство сложения длин отрезков.

Расстояние от Москвы до Свердловска 1667 км, от Свердловска до Новосибирска 1524 и от Новосибирска до Иркутска 1851 км. Чему равно расстояние от Москвы до Иркутска?

При решении этой задачи следует составить такие математические выражения:

(1667+1524) +1851 (км) - расстояние от Москвы до Иркутска;

1667+ (1524 +1851) (км) - расстояние от Москвы до Иркутска.

Вычисляя значения этих выражений, учащиеся устанавливают, что сложение величин ассоциативно.

V. Задания, иллюстрирующие свойство монотонности сложения в множестве длин отрезков.

От села Сосновка до села Красное 24 км, а от села Красное до села Дачное 18 км. Сравнить расстояние от Сосновки до Красного с расстоянием от Сосновки до Дачного. И по чертежу, и по условию задачи учащиеся устанавливают, что 24 < 24 + 18.

VI. Задачи, неявно вводящие следующее свойство длины отрезка: длину отрезка можно делить на любое число п одинаковых частей.

Начертите отрезок длиной 12 см и разделите его на 3 равные части, а затем каждую из них на 2 равные части. На сколько равных частей можно разделить весь отрезок? Чему равна длина шестой части данного отрезка?

Трудность изучения величин в начальной школе обусловлена тем, что ребенок прежде не встречался с различными единицами измерений. Понятие «метр» у него связано не с длиной, а с размером предмета. То же относится и к другим единицам.

Придя в школу, дети уже имеют представление о том, что два предмета могут быть одинаковыми, но в чем-то отличаться друг от друга. Например, два карандаша могут использоваться для рисования.В этом они одинаковы. Но эти же карандаши могут отличаться цветом, размером и формой.

Для сравнения предметов вводятся понятия «больше» и «меньше». И здесь для ребенка очень важны практические действия, которые он выполняет в игровых ситуациях. Сравнивая две бумажные полоски, используем прием наложения, чтобы можно было наглядно увидеть разницу в длине. Делаем вывод, что полоски неодинаковы, одна длиннее другой, то есть длина одной полоски больше .

Можно сравнить два предмета с различной массой — воздушный шарик и коробку с красками. У коробки масса больше, так как она тяжелее шарика. А различную вместимость предметов можно продемонстрировать, перелив воду из небольшой чашечки в стакан. В стакане останется много места, следовательно, его вместимость больше.

Следующим шагом в изучении величин является формирование представлений об измерении . Осознать процесс измерения помогают ситуации проблемного характера.

Например, на листе бумаги закреплены две ленточки. Как можно доказать, что одна лента длиннее другой, если их нельзя наложить друг на друга? Нужно использовать мерку, В качестве мерок предложены картонные планки разных цветов. Используя красную планку, ребенок укладывает ее на первую ленту, осуществляя измерение. Допустим, на первой ленточке мерка поместилась 5 раз. Используя ту же планку, укладываем ее по длине второй ленточки. Результат — 4.

Сравнивая 5 и 4, ребенок делает вывод, что первая ленточка длиннее. Но, если предложить ему измерить ленточки разными планками (одну красной — 2 см, другую — синей 3 см), то результат будет совсем иной. И если одну ленточку измерить двумя разными мерками, результаты будут разными. Почему?

И здесь, как правило, вспоминается мультфильм «38 попугаев», в котором герои так и не смогли измерить длину удава, так как мерили его попугаями, мартышками и слонами. Чем больше использовано подобных ситуаций, тем конкретнее формируется у детей необходимость применять одну мерку. И тогда уже их можно знакомить с сантиметром и линейкой как измерительным инструментом.

Линейку можно использовать для того, чтобы поняли взаимосвязь между числом и величиной. Они убеждаются на опыте, что в результате измерений получаются числа, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Введение новых единиц длины тоже связано с практическими действиями. Например, для чего нужен дециметр? Чтобы дети осознали необходимость такой единицы, им обычно предлагается измерить, например, длину стола мерками 1 см и 1 дм. Укладывать сантиметровую мерку долго и неудобно. А меркой 1 дм можно выполнить измерение намного быстрее и легче.

Устанавливается соотношение между единицами и закрепляется практически с помощью заданий на перевод длины из единиц одних наименований в другие.

Так же поэтапно проводится работа по формированию представлений о массе, емкости, времени . Для понятия «масса» можно использовать такую ситуацию. На столе стоят два совершенно одинаковых сосуда, но один пустой, а другой наполнен водой. Попросите ребенка назвать признаки сходства и различия.

Введение.

Изучение в курсе математики начальной школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.

По традиционной программе в конце третьего (четвёртого) класса дети должны: - знать таблицы единиц величин, принятые обозначения этих единиц и уметь применять эти знания в практике измерения и при решении задач, - знать взаимосвязь между такими величинами, как цена, количество, стоимость товара; скорость, время, расстояние, - уметь применять эти знания к решению текстовых задач, - уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника (квадрата).

Однако, результат обучения показывает, что дети недостаточно усваивают материал, связанный с величинами: не различают величину и единицу величины, допускают ошибки при сравнении величин, выраженных в единицах двух наименований, плохо овладевают измерительными навыками. Это связано с организацией изучения данной темы. В учебниках по традиционной программе недостаточно заданий, направленных на: выяснение и уточнение имеющихся у школьников представлений об изучаемой величине, сравнение однородных величин, формирование измерительных умений и навыков, сложение и вычитание величин, выраженных в единицах разных наименований.

Таким образом, чтобы улучшить математическую подготовку детей по теме «Величины и их измерение», необходимо пополнить её новыми упражнениями из системы развивающего обучения.

Цель исследования состоит в выявлении и влияния на эффективность обучения системы развивающих упражнений на уроках математики при изучении темы «Величина и её измерение».

Объектом исследования является процесс обучения математики в начальной школе.

Гипотеза исследования : учебная деятельность при изучении темы «Величина и её измерение», организованная с помощью системы развивающего обучения, может обеспечить качество знаний и умений учащихся.

Задачи исследования :

1) Изучить психолого-педагогическую литературу по вопросу развивающего обучения;

2) Изучить методико-педагогическую литературу по теме «Величины и их измерения»;

3) Выявить влияние использования системы упражнений развивающего обучения на качество знаний и умений учащихся.

Методы исследования : изучение научно-методической литературы, наблюдение за деятельностью учителя и учащихся, анализ письменных работ учащихся, педагогический эксперимент.

База исследования : 1 класс (1-3) по традиционной программе УПК №1818.

Глава 1. Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики.

1.1.Развивающее обучение в начальном курсе математики.

В настоящее время в начальной школе представлены системы образования, базирующиеся на традиционной системе обучения, а также на теориях, разработанных отечественными учёными Л.О.Выготским, Л.В.Занковым, Д.Б.Элькониным, В.В.Давыдовым. Все системы направлены на интеллектуальное и нравственное развитие детей.

В последние годы внимание педагогов всё чаще привлекают идеи развивающего обучения, с которыми связывается возможность принципиальных изменений в школе. Основная концепция системы развивающего обучения – обучение через создание учебной задачи.

Учебная задача в контексте учебной деятельности даётся в определении учебной ситуации, то есть выступает как единица целостного образовательного процесса.

По содержанию учебная ситуация может быть нейтральной или проблемной. Оба вида этих ситуаций представлены в обучении, но второе требует больших усилий учителя, поэтому при всей важности проблематизации обучения проблемные ситуации встречаются в учебном процессе реже. Создание проблемной ситуации предлагает наличие проблемы (задачи), то есть соотношения нового и известного (данного), учебно-познавательной потребности обучаемого и его способности (возможности) решать эту задачу. Проблемное обучение основано на получении новых знаний обучающимися посредством решения теоретических и практических проблем, проблемных задач в создающихся в силу этого проблемных ситуациях. Проблемная ситуация для младшего школьника возникает если у него есть познавательная потребность и интеллектуальные возможности решать задачу при наличии затруднения противоречия между старым и новым, известным и неизвестным, данным и искомым, условиями и требованиями. Проблемные ситуации дифференцируются, по А. М.Матюшкину, по критериям:

1) структуры действий, которые должны быть выполнены при решении проблемы;

2) уровня развития этих действий у человека (младшего школьника), решающего проблему и эти трудности проблемной ситуации в зависимости от интеллектуальных возможностей. Проблемное обучение включает несколько этапов:

Осознание проблемной ситуации,

Формулировку проблемы на основе анализа ситуации,

Решение проблемы, включающее выдвижение, смену и проверку гипотез,

Проверку решения.

Этот процесс развертывается, но аналогии с прохождением трёх Фаз мыслительного акта (по С.Л. Рубинштейну), который возникает в проблемной ситуации и включает осознание проблемы, её решения и конечное умозаключение. Поэтому проблемное обучение основывается на аналитико-синтетической деятельности обучающихся, реализуемой в рассуждении, размышлении. Это исследовательский тип обучения с большим развивающим потенциалом.

Решение задачи в учебной проблемной ситуации предполагает несколько этапов.

ПЕРВЫЙ ЭТАП - это понимание задачи, сформулированной в готовом виде учителем или определяемой самим учеником. Последняя зависит от того, на каком уровне проблемности находится задача, и от способности ученика её решить.

ВТОРОЙ ЭТАП - «принятие» задачи учеником, он должен решать её для себя, она должна быть лично значима, а потому и принята к решению.

ТРЕТИЙ ЭТАП - связан с тем, что решение» задачи должно вызывать эмоциональное переживание «лучше удовлетворения, чем досады» неудовлетворения собой и желание поставить и решать собственную задачу и так далее. Здесь существенно отметить роль формулировки задания для правильного понимания задачи. Проблемное обучение может быть разного уровня трудности для ученика в зависимости от того, какие и сколько действий по решению проблемы он осуществляет. А. Крутецкий предложил наглядную схему уровней трудностей в проблемном обучении в сопоставлении с традиционным обучением на основании разделения действий учителя и ученика.

1.2. Понятие величины и её измерения в математике.

Длина, площадь, масса, время, объём - величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.

ВЕЛИЧИНА - это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами . Например, длина стола и дли на комнаты - это однородные

величины. Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.

1)Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2)Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b,её называют суммой величин а и b. Например, если a-длинаотрезка AB,b - длина отрезка ВС (рис.1), то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

3)Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют произведением величины а на число x. Например, если a - длину отрезка АВ умножить на

x= 2, то получим длину нового отрезка АС.(Рис.2)

4) Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму:

разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а - длина отрезка АС, b - длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что а= х b. Чаще это число - называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b= х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.(Рис №2).

6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, топлощадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение - заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения

получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей - другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.

Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e, то в результате измерения величины а находят такое действительное число x, что а=xe. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).

Согласно определению любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7 1 кг, 12 см =12 1 см, 15ч =15 1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как, 5/12ч = 5/12 60мин = (5/12 60)мин = 25мин.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие, численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1/.Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот.

a=b m (a)=m (b),

A>b m (a)>m (b),

Например, если массы двух тел таковы, что а=5 кг, b=3 кг, то можно утверждать, что масса а больше массы b поскольку 5>3.

2/ Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то, чтобы найти численное значение суммы a+b достаточно сложить

численные значения величин а и b. а+b= cm (a+b) = m (a) + m (b). Например, если а = 15 кг, b=12 кг, то а+b=15 кг + 12 кг = (15+12) кг = 27кг

З/ Если величины а и b таковы, что b= x а, где x -положительное действительное число, и величина а, измерена при помощи единицы величины e, то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно число x умножить на число m (а):b=xam (b)=xm (a).

Например, если масса а в 3 раза больше массы b.т.е. b= За и а = 2 кг, то

b= За=3 (2 кг) = (3 2) кг = 6кг.

Рассмотренные понятия - объект, предмет, явление, процесс, его величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах.

Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 -численное значение массы яблок при единице массы - килограмм.

Рассмотрим определения некоторых величин и их измерений.

Длина отрезка и её измерение .

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка так что:

1/ равные отрезки имеют разные длины;

2/ если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n раз, то тогда а=n, ne и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок eотложился n раз и остался ещё остаток, меньший e , то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n , n , ... то взяв его приближение с определённой

точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n …

Площадь фигуры и её измерение .

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади используется при её определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других ограниченных выпуклых фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел вращения и так далее. В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура F, (рис.4), составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:

I/ равные фигуры имеют равные площади;

2/ если фигура составлена из конечного числа фигур, тоеёплощадь равна сумме их площадей. Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e. Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m .

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S(F)=xe .Число xназывают численным значением площади при выбранной единице площади.

Так, если единицей площади является см, то площадь фигуры, приведённой на рисунке 5, равна 5см.

Рассмотрим один из приёмов, опирающихся непосредственно на определение площади, является измерение площади при помощи палетки- сетки квадратов, нанесённый на прозрачный материал.

Допустим, на фигуру F. площадь которой надо измерить, наложена сетка квадратов со стороной e. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить квадраты двух видов:

1/ квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F.

2/ квадраты, через которые проходит контур фигуры, и которые лежат частью вне фигуры F.

Пусть квадратов первого вида окажется m, а квадратов второго вида n. Тогда, очевидно, площадь фигуры F будет удовлетворять условию.

m
Как видим, что палетка позволяет измерить площадь фигуры лишь с невысокой точностью. Чтобы получить более точный результат, можно уплотнить первоначальную сеть квадратов, разделив каждый из них на более мелкие квадраты. Можно, например, построить сеть квадратов со стороной e =1/10e.

В результате мы с большой точностью получим другие приближенные значения площади фигуры F.

Описанный процесс можно продолжить. Возникает вопрос: существует ли такое действительное число, которое больше всякого приближённого результата измерения, взятого с избытком, и которое может быть точным численным значением измеряемой площади? В математике доказано, что при выбранной единице площади такое число существует для всякой площади, оно единственно и удовлетворяет свойствам 1 и 2.

Масса и её измерение .

Масса - одна из основных физических величин. Понятие массы тела тесно связано с понятием веса-силы, с которой тело притягивается Землёй. Поэтому вес тела зависит не только от самого тела. Например, он различен на разных широтах: на полюсе тело весит на 0,5 % больше, чем на экваторе. Однако при своей изменчивости вес обладает особенностью: отношение весов двух тел в любых условиях остаётся неизменным. При измерении веса тела путём сравнения его с весом другого выявляется новое свойство тел, которое называется массой. Представим, что на одну из чашек рычажных весов положили какое-нибудь тело, а на другую чашку положили второе тело b. При этом возможны случаи:

1) Вторая чашка весов опустилась, а первая поднялась так, что они оказались в результате на одном уровне. В этом случае говорят, что весы находятся в равновесии, а тела а и b имеют равные массы.

2) Вторая чашка весов так и осталась выше первой. В этом случае говорят, что масса тела а больше массы тела b.

3) Вторая чашка опустилась, а первая поднялась и стоит выше второй. В этом случае говорят, что масса тела а меньше тела b.

С математической точки зрения масса - это такая положительная величина, которая обладает свойствами:

1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;

2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, вместе взятых равна сумме их масс. Если сравнить данное определение с определениями длины и площади, то увидим, что масса характеризуется теми же свойствами, что длина и площадь, но задана на множестве физических тел.

Измерение массы производится с помощью весов. Происходит это следующим образом. Выбирают тело e, масса которого принимается за единицу. Предполагается, что можно взять и доли этой массы. Например, если за единицу массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать такую его долю, как грамм: 1г= 0,01кг.

На одну чашку весов кладут тело, массу тела кого того измеряют, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы, то есть гири. Этих гирь должно быть столько, чтобы они уравновесили первую чашку весов. В результате взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной единице массы. Это значение приближённое. Например, если масса тела равна 5 кг 350 г, то число 5350следует рассматривать как значение массы данного тела (при единице массы – грамм). Для численных значений массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины, то есть сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над численными значениями масс (при одной и той же единице массы).

Основная единица массы - килограмм. Из этой основной единицы образуются другие единицы массы: грамм, тонна и другие.

Промежутки времени и их измерение .

Понятие времени более сложное, чем понятие длины и массы. В обыденной жизни время - это то, что отделяет одно событие от другого. В математике и физике время рассматривают как скалярную величину,

потому что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.

Промежутки времени можно сравнивать. Например, на один и тот же путь пешеход затратит больше времени, чем велосипедист.

Промежутки времени можно складывать. Так, лекция в институте длится столько же времени, сколько два урока в школе.

Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины, площади или массы. Для измерения длины можно многократно использовать линейку, перемещая её с точки на точку. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Поэтому единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда. Наряду с секундой используются и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век. Такие единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.

Год - это время обращения Земли вокруг Солнца. Сутки - это время обращения Земли вокруг своей оси. Год состоит приблизительно из 365 суток. Но год жизни людей складывается из целого числа суток. Поэтому вместо того, чтобы к каждому году прибавлять 6 часов, прибавляют целые сутки к каждому четвёртому году. Этот год состоит из 366 дней и называется високосным.

В Древней Руси неделя называлась седмицей, а воскресенье - днём недельным (когда нет дел) или просто неделей, т.е. днём отдыха. Названия следующих пяти дней недели указывают, сколько дней прошло после воскресенья. Понедельник - сразу после неделя, вторник - второй день, среда - середина, четвёртые и пятые сутки соответственно четверг и пятница, суббота - конец дел.

Месяц не очень определённая единица времени, он может состоять из тридцати одного дня, из тридцати и двадцати восьми, двадцати девяти в високосные годы (дней). Но существует эта единица времени с древних времён и связана с движением Луны вокруг Земли. Один оборот вокруг

Земли Луна делает примерно за 29,5 суток, и за год она совершает примерно 12 оборотов. Эти данные послужили основой для создания древних календарей, а результатом их многовекового усовершенствования является тот календарь, которым мы пользуемся и сейчас.

Так как Луна совершает 12 оборотов вокруг Земли, люди стали считать полнее число оборотов (то есть22) за год, то есть год – 12 месяцев.

Современное деление суток на 24 часа также восходит к глубокой древности, оно было введено в Древнем Египте. Минута и секунда появились в Древнем Вавилоне, а в том, что в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд, сказывается влияние шестидесятеричной системы счисления,

изобретённой вавилонскими учёными.

Объём и его измерение.

Понятие объёма определяется так же, как понятие площади. Но при рассмотрение понятия площадь, мы рассматривали многоугольные фигуры, а при рассмотрении понятия объём мы будем рассматривать многогранные Фигуры.

Объёмом фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой Фигуры так, что:

1/равные фигуры имеют один и тот же объём;

2/если фигура составлена из конечного числа фигур, то её объём равен сумме их объёмов.

Условимся объём фигуры F обозначать V(F).

Чтобы измерить объем фигуры, нужно иметь единицу объёма. Как правило, за единицу объёма принимают объём куба с гранью, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины.

Если измерение площади сводилось к сравнению площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e , то, аналогично, измерение объёма данной фигуры состоит в сравнении его с объёмом единичного куба е 3 (рис.б). Результатом этого сравнения является такое число x, .что V(F)=х е.Число х называют численным значением объёма при выбранной единице объёма.

Так. если единицей объёма является 1 см, то объём фигуры, приведённой на рисунке 7, равен 4 см.

ГЛАВА 2.Методика формирования понятия величины и её измерения у младших школьников.

2.1 Современные подходы к изучению величин в начальном курсе математики.

В начальных классах рассматриваются такие величины, как: длина, площадь, масса, объём, время и другие. Учащиеся должны получить конкретные представления об этих величинах, ознакомиться с единицами их измерения, овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерений в различных единицах, выполнять различные действия над ними.

Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей; обучение измерении связывается с изучением счёта; измерительные и графические действия над величинами являются наглядными средствами и используются при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.

Н. Б. Истомина, преподаватель математики и автор одной из альтернативных программ, выделила 8 этапов изучения величин:

1-й этап : выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка).

2-й этап : сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).

3-й этап : знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

4-й этап : формирование измерительных умений и навыков.

5-й этап : сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6-й этап : знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7-й этап : сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8-й этап : умножение и деление величин на число.

В программах развивающего обучения предусмотрено рассмотрение основных величин, их свойств и отношений между ними с тем, чтобы показать, что числа, их свойства и действия, производимые над ними, выступают в качестве частных случаев уже известных общих закономерностей величин. Структура данного курса математики определяется рассмотрением последовательности понятий: ВЕЛИЧИНА –> ЧИСЛО

Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте ребёнка. Величины в начальном курсе математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся в результате сравнения. Особенно явно это проявляется в альтернативных программах Давыдова, Петерсон. Рассмотрим как трактуется понятие величина в альтернативной программе Л. Г. Петерсон.

Изучение величин в первом классе по программе Л. Г. Петерсон начинается с изучения отрезка и его частей (урок.№ I, часть 2).На этом этапе дети учатся правильно измерять отрезки, чертить отрезки заданной длины, то есть приобретают измерительные умения. На следующем этапе изучается тема «Длина» (урок № 1 ,часть3). Здесь дети измеряют отрезки с помощью различных мерок, детям предлагаются некоторые сведения из истории единиц измерения длины, вводится первая единица измерения длины - сантиметр. Далее предлагается узнать длину данных отрезков с помощью линейки и выразить полученный результат в сантиметрах. На следующем этапе дети приступают к сравнению отрезков (урок №2,часть 3).

Следующая величина, изучаемая в первом классе – масса (урок №4,часть 3). На этом этапе дети выражают массу предметов с помощью различных мерок, затем знакомятся с единицей измерения массы - килограммом.

Затем изучается объём (урок №б часть 3). Здесь дети знакомятся с единицей измерения объёма - литром. Далее изучаются свойства величин (урок № 8,часть 3). Отрезки сравниваются по длине, предметы по массе и объёму. Здесь систематизируются знания детей о свойстве величин: «больше», « меньше», « равно». Так же предлагается задание на различение понятий: объём и масса (урок № 8, задание 9 «Что легче: килограмм ваты или килограмм железа? »).

На следующем этапе учащиеся изучают новую единицу измерения длины - дециметр (урок № 29 часть 3). Здесь дети узнают соотношение между двумя изученными единицами длины: сантиметром и дециметром.

Далее дети изучают метр (урок №15 часть 4), соотношение изученных единиц длины: сантиметр, дециметр, метр. Учатся выражать численные значения величин в различных единицах измерения, например, вырази в дециметрах: 6м 800см, 9м 400см (урок № 15,часть 4,задание 6). Учатся выражать численные значения длины, выраженные в единицах одного наименования, значениями, выраженными в единицах двух наименований, и наоборот. Например, «Вырази в дециметрах»: 7м 2дм, 5м 9дм, 4м 3дм, 1м 6дм (урок №16 часть 4, задание 1). Или, вырази в метрах и дециметрах: 38дм, 66дм, 79дм, 57дм (урок №16 часть4, задание 2).

Изучение величин во втором классе начинается с изучения площади фигур (урок №19 часть 1). Наблюдения над площадью фигур проводилось на более раннем этапе - в первом классе. Например, «Найди равные фигуры» (урок №19 часть2), «В какой из фигур клеток больше? Почему?» (урок № 26, часть 4). На данном этапе дети измеряют площадь фигуры различными мерками, сравнивают численные значения площадей фигур, измеренных разными мерками. На следующем уроке (урок №20) дети знакомятся с единицами измерения площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр и с соотношениями между ними. Знакомство с единицами измерения площади происходит аналогично знакомству с единицами измерения длины. Затем изучается площадь прямоугольника (урок № 25, часть 1). Здесь дети узнают формулу нахождения площади прямоугольника.

На следующем этапе изучаются новые единицы измерения длины -миллиметр и километр (соответственно урок№30 часть2). Здесь дети выясняют для чего используют такую мелкую (крупную) мерку. Выполняют упражнения на соотношение единиц длины, переводят мелкие единицы в более крупные и наоборот. Далее дети изучают новые единицы измерения объёма; кубический сантиметр и кубический дециметр, узнают их соотношения. Выясняют, что измерять объём можно у некоторых геометрических фигур, также узнают, что один кубический дециметр равен одному литру.

Изучение величин в третьем классе начинается с изучения времени (Урок №1 часть1). Здесь изучаются меры времени, даются исторические сведения о возникновении единиц изменения времени, а также изучается календарь. Здесь же предлагаются задания на соотношение единиц измерения времени: год, месяц, день. На втором уроке (урок №2) учащиеся приступают к изучению недели. На следующем уроке (урок №3) изучается таблица мер времени, изучаются такие единицы измерения времени как, час, минута, секунда и их соотношения между собой. На четвёртом уроке по данной теме (урок №4) изучаются часы. Здесь дети знакомятся с часовыми стрелками и их назначением, учатся определять время по часам. Пятый урок посвящен сравнению, сложению и вычитанию единиц времени. Здесь обобщаются и систематизируются знания детей: соотношений между единицами времени. Дети учатся выполнять арифметические действия с численным значением времени.

Так же как и площадь прямоугольника, дети изучают объём прямоугольного параллелепипеда (урок №14 часть1). На этом уроке дети узнают, что такое параллелепипед, его измерений (длина, ширина, высота) и формулу вычисления его объёма при помощи его измерений. На следующем этапе дети учатся находить площадь фигуры с помощью палетки. Сначала учащиеся учатся выделять целые клетки и записывать результат двойным неравенством (урок № 17 часть2) здесь термин палетка не вводятся. Далее изучается примерное вычисление площади (урок №19 часть2). Здесь вводится термин палетка и алгоритм вычисления площади при помощи палетки.

На следующем этапе дети изучают площадь прямоугольного треугольника (урок №30 часть 2). Здесь учащиеся узнают: - что такое прямоугольный треугольник; - что такое катеты, гипотенуза, формулу вычисления площади прямоугольного треугольника. В дальнейшем дети узнают новые единицы измерения площади: акр и гектар (урок № 36 часть3). На этой теме заканчивается изучение величин в начальной школе.

В рассмотренной программе уделяется большое внимание формированию у учащихся понятия величина и её -измерение. Более подробно, чем в традиционной программе, изучаются величины, единицы их намерения. Хорошо просматривается связь данной темы с жизнью, например, практическая деятельность при изучении темы « Метр» (урок №15 часть 4, класс 1 /задание 1 а) «измерь метром длину и ширину класса, классной доски, ширину двери, окна»; б) «отмерь два шнура длиной 2м и 3м. Какой шнур длиннее и на сколько?»; в) «измерь метром длину и ширину своей комнаты»). Так же хорошо просматривается связь данной темы с другими разделами курса математики, например, при изучении темы « Двойные неравенства» для введения понятия двойные неравенства используются знания детей такой величины, как масса (урок №4 часть2 класс 3).

Таким образом, данная программа обеспечивает высокий уровень научности и связи математики с жизнью, то есть введение любой величины опирается на жизненный опыт детей. Предложенная программа направлена не только на нормирование математических знаний, умений и навыков, но и на общее развитие детей. Примером этого являются исторические справки о величинах, единицах их измерения, справки из истории возникновения величин и необходимости их измерения (Меры времени. Календарь. Урок 1 часть1 класс 3 и другие).

В традиционном курсе математики последовательность изучения понятий есть: ЧИСЛО--> ВЕЛИЧИНА.

В традиционной начальной школе изучение величин начинается с изучения такой величины как, длина. В первом классе другие величины не изучаются. Большее внимание по традиционной программе уделяется изучению натурального ряда чисел, а уже на втором месте идёт изучение величин. В традиционной программе не предусмотрены упражнения развивающего характера, направленные на формирование умений и навыков по данной теме.

Имеющийся у ребенка жизненный опыт позволяет ему осознать практическую значимость изучаемого понятия, связь его с реальными предметами и явлениями, перевести имеющиеся житейские понятия на язык математики. Дети ещё в дошкольном возрасте встречаются с необходимостью в определённых ситуациях сравнивать реальные предметы между собой по конкретным знакам, придя в школу, они уже имеют представление о том, что два различных предмета могут быть в чём-то одинаковыми, взаимозаменяемыми, а в чём-то различными. Среди всех характеристик реальных предметов, обладающих определёнными свойствами, выделяются такие, относительно которых (в том случае, когда предметы неодинаковы) можно ввести отношения «больше», «меньше», «равно».

Рассмотрим подробнее методику изучения длины, площади, массы, времени, объёма.

Методика изучения длины и её измерения .

В традиционной начальной школе изучение величин начинается с длины предметов. Первые представления о длине как о свойстве предметов у детей возникает задолго до школы. С первых дней обучения в школе ставится задача уточнить пространственные понятия детей. Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямей линией и отрезком как «носителем» линейной протяжённости, лишенным, по существу, других свойств.

Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине не измеряя их. Делают они это наложением (приложением) и визуально («на глаз»).Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой поезд длиннее, с зелёными вагонами или с красными вагонами? Какой поезд короче?»(М1М «1» стр.39, 1988г.)

Затем предлагается сравнить два предмета разного цвета и разные по размеру (по длине) практически - наложением. Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: « Какой ремень короче (длиннее)светлый или тёмный?» (М1М 1-4 стр.40,1988г.). Через эти два упражнения дети подводятся к пониманию длины как свойства, проявляющегося в сравнении, то есть: если два предмета при наложении совпадают, то они имеют одну и ту же длину; если же какой - либо из сравниваемых предметов накладывается на часть другого, не покрывая его полностью, то длина первого предмета меньше длины второго предмета. После рассмотрения длин предметов переходят к изучению длины отрезка.

Здесь длина выступает как свойство отрезка.

На следующем этапе происходит знакомство с первой единицей измерения отрезков. Из множества отрезков выбирают отрезок, который принимают за единицу. Таковым является сантиметр. Дети узнают его название и приступают к измерению с помощью этой единицы. Чтобы дети получили наглядное представление о сантиметре, следует выполнить ряд упражнений. Например, полезно, чтобы они сами изготовили модель сантиметра; начертили отрезок длиной 1см в тетради. Нашли, что ширина мизинца примерно равна 1 см.

Далее учащихся знакомят с измерительным прибором и измерением отрезков с помощью прибора. Чтобы дети ясно поняли процесс измерения и что показывают числа, полученные при измерении. Целесообразно постепенно переходить от простейшего приёма укладывания модели сантиметра и их подсчета к более трудному - отмериванию. Только затем приступают к измерению способом прикладывания линейки или рулетки, к начерченному отрезку.

Для того, чтобы учащиеся лучше осознали взаимосвязь между числом и величиной, то есть поняли, что в результате измерения они получают число, которое можно складывать и вычитать, полезно в качестве наглядного пособия для сложения и вычитания использовать ту же линейку. Например, ученикам даётся полоска; требуется с помощью линейки определить её длину. Линейка прикладывается так, чтобы 0 совпал с началом полоски, а её конец совпал с цифрой 3 (если длина полоски равна 3 см). Затем учитель предлагает вопросы: «А если приложить линейку так, чтобы начало полоски совпало с числом 2, с каким числом на линейке совпадёт тогда конец полоски. Почему?». Некоторые учащиеся сразу называет число 5, объясняя, что 2+3=5. Тот, кто затрудняется, прибегает к практическому действию, в процессе которого закрепляет вычислительные навыки и приобретает умение пользоваться линейкой для вычислений. Возможны аналогичные упражнения с линейкой и на обратное действие - вычитание. Для этого ученики сначала определяют длину предложенной полоски, например, 4см, а затем учитель спрашивает: «Если конец полоски совпадает с числом 9 на линейке, то с каким числом совпадёт начало полоски?»(5; 9-2=5). Для формирования измерительных навыков включается система разнообразных упражнений. Это измерение и черчение отрезков; сравнение отрезков, чтобы ответить на вопрос: на сколько сантиметров один отрезок длиннее (короче) другого отрезка; увеличение и уменьшение отрезков на несколько сантиметров. В процессе этих упражнений у учащихся формируется понятие длины как числа сантиметров, которые укладываются в данном отрезке. Позднее, при изучении нумерации чисел в пределах 100, вводятся новые единицы измерения - дециметр, а затем метр. Работа проходит в таком же плане, как и при знакомстве с сантиметром. Затем устанавливают отношения между единицами измерения. С этого времени приступают к сравнению длин на основе сравнения соответствующих отрезков.

Введение миллиметра обосновывается необходимостью измерять отрезки меньшие 1 сантиметра.

При знакомстве с километром полезно провести практические тяготы на местности, чтобы сформировать представление об этой единице измерения.

В 3-4 классе учащиеся составляют и заучивают таблицу всех изученных единиц длины и их отношений.

Начиная со 2 (1-3) класса дети в процессе решения задач знакомятся с нахождением длины косвенным путём. Например, зная длину данного класса и количество классов на втором этаже, вычисляет длину школы; зная высоту комнат и количество этажей в доме, можно приблизительно

вычислить высоту дома и тому подобное.

Работу над этой темой можно продолжить на внеклассных занятиях, например, рассмотреть старинные русские меры: верста, сажень, вершок. Познакомить учащихся с некоторыми сведениями из истории развития системы мер.

Методика изучения площади и её измерение .

В методике работы над площадью фигуры имеется много общего с работой над длиной отрезка, то есть работа проводится почти аналогично.

Знакомство учащихся с понятием «площадь фигуры» начинается с уточнения представлений, имеющихся у учащихся о данной величине. Исходя из своего жизненного опыта, дети легко воспринимают такое свойство объектов, как размер, выражая его в понятиях «больше», «меньше», «равно» между их размерами.

Используя эти представления, можно познакомить детей с понятием «площадь» выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на друга одна целиком помещается в другой.

«В этом случае, - говорит учитель, - в математике принято говорить, что площадь одной фигуры больше (меньше)площади другой фигуры». Когда же фигуры при наложении совпадают, то говорят, что их площади равны или совпадают. Этот вывод ученики могут сделать самостоятельно. Но возможен и такой случай, когда одна из фигур не помещается полностью в другой. Например, два прямоугольника, один из которых квадрат (Рис.8). После безуспешных попыток уложить один прямоугольник в другой учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в другой 9 таких же квадратиков (рис.9).

Ученики совместно с учителем делают вывод, что для сравнения площадей, так же как и для сравнения длин можно воспользоваться меркой.

Возникает вопрос: какая фигура может быть использована, в качестве мерки для сравнения площадей?

Учитель или сами дети предлагают использовать в качестве мерок треугольник, равный половине площади квадрата M – M , или прямоугольник, равный половине площади квадрата М – М или 1/4площади квадрата M. Это может быть квадрат Mили треугольник М. (рис.10).

Учащиеся укладывают в прямоугольники различные мерки и подсчитывают их число в каждом.

Так пользуясь меркой M1, они получают 20М1 и 10МГ. Измерение меркой М2 даёт 40М2 и 36М2. Использование мерки M3 - 20МЗ и 18МЗ. Измеряя прямоугольники меркой М4, получаем 40М4 и 36М4.

В заключении учитель может предложить измерить площадь одного прямоугольника меркой M1, а площадь другого прямоугольника (квадрата) меркой М2.

В результате выясняется, что площадь прямоугольника равна 20, а площадь квадрата 36.

«Как же так, - говорит учитель, - получается, что в прямоугольнике уложилось мерок меньше, чем в квадрате? Может быть вывод, который мы сделали раньше, о том, что площадь квадрата больше площади прямоугольника, неверен?»

Поставленный вопрос помогает акцентировать внимание детей на том, что для сравнения площадей необходимо пользоваться единой меркой. Для осознания этого факта учитель может предложить выложить на фланелеграфе разные фигуры из четырёх квадратов или нарисовать их в тетради, обозначая квадрат клеткой (рис.11). После того, как задание выполнено, полезно выяснить;

Чем построенные фигуры похожи? (они состоят из четырёх одинаковых квадратов).

Можно ли утверждать, что площади всех фигур одинаковы? (дети могут проверить свой ответ, наложив квадраты одной фигуры на квадраты других).

Перед знакомством школьников с единицей площади полезно провести практическую работу, связанную с измерением площади данной фигуры различными мерками. Например, измеряя площадь прямоугольника квадратиками, получаем число 10, измеряя прямоугольником, состоящим из двух квадратиков, получаем число 5. Если мерка равна 1/2квадратика, то получаем 29,если 1/4 квадратика, то получаем 40.(рис.12)

Дети подмечают, что каждая следующая мерка состоит из двух предыдущих, то есть, её площадь больше площади предыдущей мерки в 2 раза.

Отсюда вывод, во сколько раз увеличилась площадь мерки, во столько же раз увеличилось численное значение площади данной фигуры.

С этой целью можно предложить детям такую ситуацию. Трое учеников измеряли площадь одной и той же фигуры (фигура предварительно чертится в тетрадях или на листочках). В результате каждый ученик получил в ответе первый - 8, второй - 4, а третий -2.Учащиеся догадываются, что результат зависит от той мерки, которой пользовались ученики при измерении. Задания такого вида подводят к осознанию необходимости введения общепринятой единицы площади -1 см (квадрат со стороной 1см). Модель 1см вырезается из плотной бумаги. С помощью этой модели измеряются площади различных фигур. В этом случае учащиеся сами придут к выводу, что измерить площадь фигуры, значит узнать сколько квадратных сантиметров она содержит.

Измеряя площадь фигуры с помощью модели, школьники убеждаются в том, что укладывать 1см в фигуре неудобно и занимает много времени. Гораздо удобнее использовать прозрачную пластину, на которую нанесена сетка из квадратных сантиметров. Она называется палеткой. Учитель знакомит с правилами пользования палеткой. Она накладывается на произвольную фигуру. Подсчитывается число полных квадратных сантиметров (пусть оно равно а). Затем подсчитывается число неполных квадратных сантиметров (пусть оно равно b) делится на 2.(а+b):2. Площадь фигуры приблизительно равна (а+b):2см. Наложив палетку на прямоугольник дети легко находят его площадь. Для этого подсчитывают число квадратных сантиметров в одном ряду потом считают число рядов и перемножают полученные числа: а b (см). Измеряя линейкой длину и ширину прямоугольника, учащиеся замечают или учитель обращает их внимание на то, что число квадратов, которые укладываются по длине, давно численному значению длины прямоугольника, а число строк совпадает с числовым значением ширины.

После того, как учащиеся убедятся в этом экспериментально на нескольких прямоугольниках, учитель может познакомить их с правилом вычисления площади прямоугольника: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его длину и ширину и перемножить эти числа. Впоследствии правило формулируется более кратко: площадь прямоугольника равна его длине умноженной на ширину. При этом длина и ширина должны быть выражены в единицах одного наименования.

В тоже время учащиеся приступают к сопоставлению площади и периметра многоугольников с тем, чтобы дети не смешивали эти понятия, а в дальнейшем чётко различали способы нахождения площади и периметра многоугольников. Выполняя практические упражнения с геометрическими фигурами, дети подсчитывают число квадратных сантиметров и тут же вычисляют периметр многоугольника в сантиметрах.

Наряду с решением задач на нахождение площади прямоугольника по данным длине и ширине, решают обратные задачи на нахождение одной из сторон, по данным площади и другой стороне.

Площадь - это произведение чисел, полученных при измерении длины и ширины прямоугольника, значит, нахождение одной из сторон прямоугольника сводится к нахождению неизвестного множителя по известным произведению и множителю. Например, площадь садового участка 100м, длина участка 25м. Какова его ширина? (100:25=4)

Кроме простых задач, решаются и составные задачи, в которых наряду с площадью включается и периметр. Например: «Огород имеет форму квадрата, периметр которого 320 м. Чему равна площадь огорода?

1) 320:4=80(м)- длина огорода; 2) 80*80=1600(м)- площадь огорода. Объём фигуры и его измерение .

Программа по математике предусматривает наряду с рассмотренными величинами знакомство с объёмом и его измерением с помощью литра. Так же рассматривается объём пространственных геометрических фигур и изучаются такие единицы измерения объёма, как кубический сантиметр и кубический дециметр, а так же их соотношения. Методика изучения времени и его измерения. Время является самой трудной для изучения величиной. Временные представления у детей развиваются медленно в процессе длительных наблюдений, накопления жизненного опыта, изучения других величин.

Временные представления у первоклассников формируются прежде всего в процессе их практической (учебной)деятельности: режим дня, ведение календаря природы, восприятие последовательности событий при чтении сказок, рассказов, при просмотре кинофильмов, ежедневная запись в тетрадях даты работы - всё это помогает ребёнку увидеть и осознать изменения времени, почувствовать течение времени.

Начиная с первого класса, необходимо приступать к сравнению знакомых, часто встречающихся в опыте детей временных промежутков. Например, что длится дольше: урок или перемена, учебная четверть или зимние каникулы; что короче учебный день ученика в школе или рабочий день родителей? Такие задания способствуют развитию чувства времени. В процессе решения задач, связанных с понятием разности, дети приступают к сравнению возраста людей и постепенно овладевают важными понятиями: старше - моложе - одинаковые по возрасту. Например, «Сестре 7 лет, а брат на 2 года старше сестры. Сколько лет брату?» «Мише 10 лет, а сестра моложе его на 3 года. Сколько лет сестре?» (М1М «1-3», стр. 68,М2,13-соответственно,1994 г) «Свете 7 лет, а её брату 9 лет. Сколько лет будет каждому из них через 3 года?»

На осознание течения времени (М1М «1-3».стр.84,№2,1994 г). Знакомство с единицами времени способствует уточнению временных представлений детей. Знание количественных отношений единиц времени помогает сравнивать и оценивать по продолжительности промежутки времени, выраженные в тех или иных единицах.

С помощью календаря учащиеся решают задачи на нахождение продолжительности события. Например, сколько дней длятся весенние каникулы? Сколько месяцев длятся летние каникулы? Учитель называет начало и конец каникул, и учащиеся подсчитывают число дней и месяцев по календарю. Надо показать, как быстро подсчитать» число дней, зная, что в неделе 7 дней. Аналогично решаются обратные задачи.

Единицы времени, с которыми знакомятся дети в начальной школе: неделя, месяц, год, век, сутки, час, минута, секунда.

Усвоению отношений между единицами времени помогает таблица мер, которую следует повесить в классе на некоторое время, а так жесистематические упражнения в преобразовании величин, выраженных в единицах времени, их сравнении, нахождении различных долей любой единицы времени, решение задач на вычисление времени.

В 3 (1-3) классе рассматривают простейшие случаи сложения и вычитания величин, выраженных в единицах времени. Не обходимые преобразования единиц времени здесь выполняют попутно, без предварительной замены заданных величин. Чтобы предупредить ошибки в вычислениях, которые намного сложнее, чем вычисления с величинами, выраженными в единицах длины и массы, рекомендуется давать вычисления в сопоставлении:

30мин 45сек - 20мин58 сек;

30м 45см - 20м 58см;

30ц 45кг - 20ц 58кг;

Для развития временных представлений используется решение задач на вычисление продолжительности событий, его начала и конца.

Простейшие задачи на вычисление времени в пределах года (месяца) решаются с помощью календаря, а в пределах суток - с помощью модели часов.

Методика изучения массы и её измерения.

Первые представления о том, что предметы имеют массу, дети получают в жизненной практике ещё до школы. До понятийные представления о массе сводятся к свойству предметов «быть легче» и «быть тяжелее».

В начальной школе учащиеся знакомятся с единицами массы: килограммом, граммом, центнером, тонной. С прибором, при помощи которого измеряют массу предметов - весами. С соотношением единиц массы.

На этапе сравнения однородных величин, выполняются упражнения в отвешивании: отвешивают 1,2,3 килограмм соли, крупы и т.д. В процессе выполнения подобных заданий, дети должны активно участвовать в работе с весами. Попутно происходит знакомство с записью полученных результатов. Далее дети знакомятся с набором гирь:1кг, 2кг, 5кг и затем приступают к взвешиванию нескольких специально подобранных предметов, масса которых выражается целым числом килограмм. При изучении грамма, центнера и тонны устанавливаются их соотношения с килограммом, составляется и заучивается таблица единиц массы. Затем приступают к преобразованию величин, выраженных в единицах массы, заменяя мелкие единицы крупными и обратно. Например, масса слона 5 тонн. Сколько это центнеров? килограммов? (М4М.1 -4, :, Просвещение, 1989 г.) Вырази в килограммах: 12т 96кг, 9385г, 68ц, 52ц 5 кг; в граммах:13кг 125г, 45кг 13г, 6ц, 18кг?(МЗМ 1 - З.М:,Линка пресс, 1995г)

Так же сравнивают массы и выполняют арифметические действия над ними. Например, вставь числа в « окошки», чтобы получились верные равенства:

7т 2ц+4ц=_ц;9т 8ц-6ц=_ц.

В процессе этих упражнений закрепляются знания таблицы единиц массы. В процессе решения простых, а затем и составных задач, учащиеся устанавливают и используют взаимосвязь между величинами: масса одного предмета -количество предметов - общая масса данных предметов, учатся вычислять каждую из величин, если известны численные значения двух других.

2.2. Система развивающих упражнений при изучении величин в начальном курсе математики.

Задачи изучения величин в начальном курсе математики

1) сформировать конкретные представления о величинах

2) сформировать навыки измерения величин

3)научить выражать величины в различных единицах измерения

4)научить выполнять арифметические действия над величинами.

Для более успешной реализации этих задач на уроках математики в начальной школе, целесообразно использовать развивающие упражнения, а именно проблемные ситуации. Использование проблемных ситуаций в теме « Величины », да и при изучении других тем начального курса математики, несомненно, имеет огромное значение. С помощью ситуации, созданной на уроке, учащиеся более осознанно подходят к изучению данного вопроса. Это помогает лучше осваивать материал, следовательно, обеспечивает ускоренный темп в изучении данной темы. Непосредственная практическая деятельность детей способствует развитию логического и абстрактного мышления, внимания, восприятия.

Рассмотрим упражнения, которые можно использовать при изучении темы «Величина и её измерение».

Длина. Упражнение №1.

Ученикам предлагается сравнить «на глаз» два одинаковых отрезка, но начерчены они должны быть по-разному (рис.14). Отрезки обозначены как a и b. Ученики сравнивают отрезки «на глаз» и замечают, что отрезок b длиннее, чем отрезок a. После того, как дети сделали такой вывод, учитель

берёт мерку и измеряет оба отрезка. В результате измерения получается, что предложенные отрезки одинаковы по длине. После этого, учащиеся делают вывод, что не всегда «на глаз» можно определить какой отрезок (предмет) длиннее (короче) другого. Поэтому возникает необходимость в измерении.

Как вы думаете, какой отрезок длиннее (короче)?

Можно ли всегда доверять своему глазомеру?

Что нужно для того, чтобы избежать подобной ошибки?

Упражнение№2

Учащимся предлагается измерить отрезок тремя разными мерками. Для этого каждому ученику выдаются листочки, на которых начерчены три одинаковых отрезка (собственно А, В, С) и мерки (Iсм, 2см, 3см). Пусть длина предложенных отрезков будет 6 см. Ученики, измеряют отрезок А меркой 1см, отрезок. В - 2см, отрезок С - 3 см. Получив результат отрезок А=6 мерок, отрезок В=3 мерки, отрезок С=2 мерки, учитель задаёт вопрос: почему, измеряя три одинаковых отрезка, получаем разное численное значение. Ученики выясняют, что это произошло потому, что они при измерении использовали разные мерки. В процессе этой работы учащиеся приходят к выводу, что для изменения нужно использовать одинаковую

мерку. На этом уроке можно ввести единицу измерения длины – сантиметр. Вопросы, которые целесообразно задавать:

Одинакова ли длина данных отрезков?

Как вы это определили?

Какова длина отрезка А? В? С?

Почему у одинаковых отрезков при измерении получились разные значения?

Что нужно, чтобы избежать подобной ошибки?

Для чего нужно, чтобы выбрали единую мерку?

Упражнение № 3

Учащимся предлагаются листочки с начерченным на них отрезком и модель сантиметра. Пусть длина предложенного отрезка будет 15 см. Дети получают задание измерить длину предложенного отрезка с помощью модели сантиметра. После безуспешных попыток выполнить задание, учитель выясняет почему у детей не получилось измерить отрезок. Ученики ссылаются на неудобство такого измерения. Далее учитель говорит, что для удобства и быстроты измерения длины отрезков (предметов) люди придумали измерительный прибор. Этот прибор называется линейка.

Затем предлагает измерить длину данного отрезка с помощью линейки, при этом обращая внимание детей на то, что один конец отрезка должен совпадать с нулём на линейке. В результате измерения дети приходят к выводу, что измерять с помощью линейки быстрее и удобнее, чем с помощью модели сантиметра.

Упражнение № 4

На листах дощатом А 4 .предложенных детям, начерчены два отрезка:

Отрезок А=5 см, отрезок В=20 см. С помощью модели сантиметра детям предлагается измерить данные отрезки. При измерении отрезка В учащиеся испытывают затруднения. Тогда им предлагается измерить отрезок В с помощью модели дециметра. Учащиеся быстро выясняют длину отрезка В. Затем с помощью линейки измеряют предложенную мерку (модель дециметра). Далее учитель сообщает, что данная мерка называется дециметр. Учащиеся уже выяснили, что дециметр равен десяти сантиметрам. Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

Какова длина отрезка А?

Удобно ли измерять её с помощью отрезка (мерки № 1), (модели см)

Удобно ли измерять длину отрезка В с помощью этой же мерки? Почему?

Удобно ли измерять длину отрезка В с помощью мерки № 2 (модель дециметра)?

Какова длина этой мерки?

Зачем используют такую мерку?

Упражнение №5

На доске начерчен отрезок - 2 метра. Ученику предлагается измерить его длину с помощью модели дециметра. Данное задание вызывает затруднение, т.к. ребёнок постоянно сбивается, не может точно определить количество уложившихся мерок. Тогда предлагается измерить длину этого отрезка с помощью модели метра. Затем метровой линейкой устанавливается, что длина предложенной мерки 100 сантиметров. Далее учитель говорит, что для измерения больших отрезков или предметов, например, ткань. используют мерку, которая называется метр. Учащиеся уже выяснили, что в одном метре сто сантиметров. Затем, укладывая в модель метра модель дециметра, выясняют, что в одном метре десять дециметров. Вопросы, которые целесообразно задавать в этой ситуации:

Удобно ли измерять предложенный отрезок с помощью дециметра? Почему?

Удобно ли измерять этот отрезок с помощью новой мерки?

Сколько сантиметров в данной мерке? дециметров?

Для чего служит эта мерка?

Упражнение № 6.

На листочках, предложенных детям, начерчены три отрезка АВ,ОС и КМ. Их длина соответственно 2см, 1см 5мм, 7 мм. Также предлагается модель сантиметра. выполненная на миллиметровой бумаге. Учитель предлагает измерить длины данных отрезков. При измерении отрезков ОС и КМ учащиеся испытывают затруднения: длина отрезка ОС чуть больше одного сантиметра, но не два, а длина отрезка КМ чуть меньше одного сантиметра. После этого, учитель предлагает рассмотреть мерку и сообщает, что она разделена на несколько равных частей. Учащиеся выясняют, что таких частей десять. Учитель сообщает, что одна такая часть называется миллиметр, а в сантиметре таких частей десять. На доске учитель записывает: АВ - 2 см = 20 мм, ОС =15 мм, КМ=7мм. Затем ученики совместно с учителем устанавливают соответствие между миллиметром и другими изученными единицами длины (см, дм, м). Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

Почему вы испытали затруднения при измерении отрезков ОС и КМ?

Для чего мы ввели новую мерку?

Зачем она нужна?

Сколько мм в см? дм? м?

Площадь . Упражнение № 1

Учащимся предлагается для сравнения две фигуры (см. рис.15)

и даётся задание выяснить площадь какой фигуры больше (меньше) площади другой фигуры. Ученики предлагают сравнить две фигуры при помощи наложения одной фигуры на другую. Выполнив это практически дети выясняют, что в данном случае одна фигура полностью не помещается в другой и выяснить какая из фигур больше (меньше) не представляется возможным. Тогда учитель предлагает перевернуть фигуры. С обратной стороны обе фигуры разделены на одинаковые квадраты. Подсчитав число квадратов в обеих фигурах, дети выясняют, что площадь первой фигуры 10 квадратиков, а площадь второй -9 квадратиков и делают вывод, что площадь фигуры не всегда можно определить «на глаз» (приложением, наложением). Для того, чтобы узнать какова площадь фигуры, её надо измерить.

Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

Можно ли всегда определить площадь какой фигуры больше (меньше) наложением?

Что надо сделать, чтобы сравнить площади фигур, которые не помещаются друг в друге полностью?

Упражнение №2

На доске прямоугольник. Его площадь ученикам предлагается измерить тремя разными мерками. В результате измерения учащиеся получают: соответственно 6 мерок. 12 мерок, 4 мерки. Далее учитель задаёт вопрос: почему, измеряя площадь одной и той же фигуры, мы получили разные числовые значения? Ученики делают вывод, что это произошло потому, что измеряли площадь фигуры разными мерками, поэтому, чтобы избежать подобной ошибки, площадь фигур надо наметит одной меркой.

Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

Какова площадь фигуры, если измерим её меркой №1?№2?№3? Почему значение площади изменилось?

Что нужно для того, чтобы избежать подобной ошибки?

Зачем измерять площадь фигур одной меркой?

Дети изготовляют модель квадратного сантиметра и узнают, что это едини На этом уроке можно ввести понятие квадратный сантиметр. ца измерения площади, называется она один квадратный сантиметр, т.е. квадрат со стороной один сантиметр.

Упражнение №3

Ученикам предлагается измерить площадь двух фигур F и F, начерченных на листах. Для этого им предлагается модель квадратного сантиметра.

` Пусть площадь фигуры F1- 8 квадратных сантиметров, а площадь фигуры F2 - 20 квадратных сантиметров. При измерении фигуры F2, ученики испытывают затруднения. Затем, для изменения фигуры F2 предлагается другая мерка квадрат со стороной один квадратный дециметр. Ученики повторяют процесс измерения и выясняют, что с помощью новой мерки измерить площадь фигур F2 легче и быстрее. Далее учитель сообщает, что для измерения площадей более крупных фигур используют мерку, которая называется один квадратный дециметр, т.е. это квадрат со стороной один дециметр. Затем модель квадратного дециметра предлагается измерить моделью квадратного сантиметра. В процессе измерения ученики выясняют, что один квадратный дециметр равен десяти квадратным сантиметрам. Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

Почему неудобно измерять площадь фигуры F2?

Какой из предложенных мерок измерять площадь фигура F2 легче? почему?

Для чего люди используют такую мерку?

Сколько квадратных сантиметров в одном квадратном дециметре?

Упражнение №4.

Предложенную ниже работу целесообразно проводить на улице или в коридоре.

Мелом вычерчивается прямоугольник площадью квадратных метров. Детям предлагается измерить площадь этой фигуры с помощью модели квадратного дециметра. У учащихся не получается выполнить задание и тогда, им предлагается: измерить площадь данной фигуры с помощью новой мерки (модели квадратного метра). Учащиеся, повторив процесс измерения новой меткой, выясняют, что с её помощью измерить площадь фигуры легче. Далее учитель сообщает, что эта метка называется квадратный метр, т.е. квадрат со стороной один метр. Эту мерку использует для измерения площадей больших фигур или участков земли и т.д. Затем предлагается моделью квадратного дециметра измерить площадь новой мерки. Выполнив процесс измерения, учащиеся устанавливают, что в одном квадратном метре десять квадратных дециметров и соответственно, сто квадратных сантиметров.

Вопросы, которые целесообразно задавать в подобной ситуации:

Почему неудобно измерять площадь этой фигуры с помощью

модели квадратного дециметра?

Какой из предложенных мерок измерять площадь данной

фигуры легче? почему?

Для чего люди придумали мерку - один квадратный метр?

Сколько в квадратном метре квадратных дециметров?

Масса . Упражнение № 1

Учащимся предлагается найти сходства и отличия у двух одинаковых кубов.

Но один куб внутри пустой, а другой заполнен песком. При

сравнении дети быстро находят общие признаки (обе фигуры одинаковы по форме, цвету и размеру).

Найти отличия дети затрудняются. Один ученик вызывается к столу учителя и берет кубики в руки, выясняя при этом, что один кубик тяжёлый, а другой лёгкий. Это значит говорит учитель, что предметы различны по массе.

Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

В чём сходство предметов? различие предметов?

Какой из кубиков тяжелее?

Можно ли это определить не взяв их в руки?

Для чего нужно измерять массу?

Упражнение № 2

Ученикам предлагается узнать массу двух мешочков с песком: красного и синего, причём масса синего мешочка незначительно больше массы красного. Несколько учеников пытаются определить масса какого мешочка больше. Их мнения расходятся, тогда учитель говорит, что для того, чтобы определять массу предметов люди придумали измерительный прибор. Он называется весы. После этого, ученикам предлагаются весы (на этом этапе целесообразнее предложить детям весы без делений). Они взвешивают мешочки и выясняют, что масса одного из них больше и делают вывод, что для измерения массы предметов используют весы.

Вопросы, которые целесообразно задавать детям в данной ситуации:

Масса какого мешочка больше: синего или красного?

Почему вы затрудняетесь ответить на этот вопрос?

Для чего люди придумали взвешивать предметы?

С какой целью мы используем весы?

Упражнение №3

(Данная ситуация представлена в учебнике Н.Б.Истоминой Методика обучения математике в начальных классах «М:,ЛИНКА-ПРЕСС,1997 год)

На столе учителя три предмета; гиря в I кг и два пакета, массой очень незначительно отличающейся от гири, например, 990 г, учитель предлагает детям, не пользуясь весами, ответить на вопросы: « Масса какого предмета самая маленькая? Самая большая?» Как правило, мнения учащихся расходятся, и они приходят к выводу, что для ответа на эти вопросы необходимо использовать весы. В данном случае неважно как будет решаться данная задача, самостоятельно или с помощью учителя. Важно, чтобы дети поняли, что в качестве меры можно использовать любой из предметов и здесь, как и при измерении длины, нужно договориться. Так вводится единица измерения массы - один килограмм.

Время. Упражнение №1

Детям предлагается прослушать две магнитофонные записи. Причём одна из них 20 секунд, а другая 15 секунд. После прослушивания дети должны определить, какая из предложенных записей длится дольше, чем другая. Данная задача вызывает определённые затруднения, мнения детей расходятся.

Тогда учитель выясняет, что для того, чтобы выяснить продолжительность мелодий их необходимо измерить. Вопросы, которые необходимо задавать в данной ситуации:

Какая из двух мелодий длится дольше?

Можно ли это определить на слух?

Что, нужно для того. чтобы определить продолжительность

На этом уроке можно ввести часы и единицу измерения времени - минуту.

Упражнение №1

Детям предлагается прослушать две мелодии. Одна, из них длится 1 минуту, а другая 55 секунд. После прослушивания дети должны определить какая мелодия длится дольше. Это задание вызывает затруднение, мнения детей расходятся.

Тогда учитель предлагает во время прослушивания мелодии считать сколько раз будет двигаться стрелка. В процессе этой работы дети выясняют, что при прослушивании первой мелодии стрелка двигалась 60 раз и прошла полный круг, т.е. мелодия длилась одну минуту. Вторая мелодия длилась меньше, т.к. пока она звучала стрелка двигалась 55 раз. После этого учитель сообщает детям, что каждый « шажок » стрелки это отрезок времени, который называется секунда. Стрелка, проходя полный круг- минуту - совершает 60 «шагов, т.е. в одной минуте 60 секунд. »Далее учитель сообщает, что стрелка, которой они пользовались называется секундной, а стрелка, которая меньше секундной, указывает на минуты.

см. вопросы в упражнении № 1.

Детям предлагается афиша: «Приглашаем всех учащихся школы на лекцию о правилах поведения на воде. Длится лекция 60.....»Учитель объясняет, что художник, который рисовал афишу не знал единиц времени и не написал сколько будет длится лекция. Ученики первого класса решили, что лекция будет длится 60 секунд, т.е. одну минуту, а ученики второго класса решили, что лекция будет длится 60 минут. Как вы думаете, кто из них прав ученики выясняют, что правы ученики второго класса. В процессе решения данной задачи дети делают вывод, что при измерении отрезков времени необходимо пользоваться единой мелкой. На этом уроке вводится новая единиц измерения времени - час.

Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

Почему вы решили, что правы ученики второго класса?

Что нужно для того, чтобы не было таких ошибок?

Сколько минут в одном часе? сколько секунд?

Объём . Упражнение №1

Учащимся предлагается сравнить количество воды в двух разных ёмкостях.

Одна из ёмкостей - прозрачная тарелка, а другая - вытянутая колба. В обеих ёмкостях 200 мл воды. Дети «на глаз» определяют, что в тарелке воды больше. После этого учитель говорит, что это новая величина и называется она объём. Затем предлагает перелить воду из тарелки и колбы в два одинаковых стакана. В процессе выполнения этого задания, дети выясняют, что в обеих ёмкостях воды одинаковое количество и делают вывод, что для определения объёма необходимо измерение. Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

В какой ёмкости воды больше (меньше): в тарелке или колбе?

Почему вы сделали ошибочный вывод?

Что нужно для того, чтобы избежать подобной ошибки?

На этом уроке можно ввести единицу объема - литр.

Прежде чем предложить следующую ситуацию, необходимо провести с детьми беседу о том, что объём имеют не только тарелки, банки и др., но и некоторые геометрические фигуры, например, куб.

Упражнение № 2

Ученикам предлагается измерить объём куба. Для этого им предлагается куб без верхней стороны и две мерки: куб со стороной один кубический дециметр и параллелепипед длина - 2 см, высота - 1 см, ширина - 1 см. Объём предложенного куба 64 см. Мерок детям предлагается много, чтобы они могли уложить их в кубе. Ученики выполняют задание и выясняют, что измеряя первой меркой (куб) они получили в результате 64, а измеряя второй мерой (параллелепипед) - 32. После этого ученики делают вывод о необходимости введения единой мерки. Вопросы, которые целесообразно задавать в данной ситуации:

Каков объём куба?

Почему у вас получились разные результаты?

Чем нужно пользоваться при измерении объёмов фигур?

На этом уроке можно ввести единицу изменения объёма -один кубический сантиметр.

Упражнение № 3

Проводится аналогично упражнению № 3 при введении понятия «площадь», т.е. детям предлагается измерить объём куба двумя мерками: моделью кубического сантиметра и моделью кубического дециметра. Объём предложенного куба 20 кубических сантиметров. Дети выясняют, что новой меркой пользоваться быстрее и удобнее. Далее вводится название и выясняется, что в одном кубическом дециметре десять кубических сантиметров.

Для того, чтобы дети различали два понятия, необходимо давать логические задачи, например, что тяжелее тонна пуха или тонна чугуна и др.

Описанные выше ситуации отвечают практически всем дидактическим принципам:

Научности: наряду с практической деятельностью учащихся на уроке преобладает теоретические знания;

Обучения быстрым темпом: благодаря лучшей усваимости материала увеличивается и темп его подачи;

Связи педагогического процесса с жизнью: ознакомление учащихся с величинами происходит с опорой на имеющийся у них жизненный опыт в результате их практической деятельности с предметами. Здесь прослеживается связь математики с жизнью;

Наглядности: уделяется большое внимание наглядности:

модели мерок, фигуры вырезанные из бумаги, таблицы. Многие наглядные материалы дети изготовляют сами или с помощью учителя.

В процессе выполнения подобных заданий происходит развитие учащихся. Оно во многом зависит от той деятельности, которую дети выполняют в процессе обучения. Эта деятельность может быть репродуктивной и продуктивной. Они тесно связаны между собой, но в зависимости от того, какой вид преобладает, обучение оказывает различное влияние на развитие детей. Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит. Основная цель такой деятельности-формирование у школьников знаний, умений и навыков, развитие внимания и памяти.

Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит своё выражение в таких мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции принято называть логическими приёмами мышления или приёмами умственных действий.

Включение этих операций в процесс усвоения математического материала - одно из важных условий построения развивающего обучения. Постановка проблемных ситуаций на уроках математики в начальной школе является хорошей основой для формирования и развития логических приёмов мышления.

2.3 Организация эксперимента и его результаты.

Опытная работа проводилась в УПК №1818 1 классе по традиционной программе (1-3)М. И. Моро.

Работа проводилась в период преддипломной практики,

которая проходила с 6.04.2001 по 3.05.2001 г.

Опытная работа имеет цель:

Формирование у учащихся умения различать такие понятия как величина и её численное значение;

Формирование у учеников навыка перехода от единиц измерения длины одного наименования к единицам измерения длины двух наименований и наоборот;

Закрепление умений пользоваться инструментами для измерения величины.

Опытная работа состоит из трёх этапов:

1. Констатирующий эксперимент.

2. Обучающий эксперимент.

3. Контрольный эксперимент.

Каждый из этапов имеет свои цели.

1) Констатирующий эксперимент.

Выявить пробелы в знаниях учащихся по данной теме;

Выявить трудности при изучении данной темы и их причины.

При проведении констатирующего эксперимента учащимся

была предложена следующая работа: - задание № 1.

Перевод единиц измерения длины одного наименования в единицы измерения длины двух наименований и наоборот.

Задание № 2. Определить, не измеряя какой из предложенных отрезков длиннее.

Задание № 3. Измерить с помощью линейки длину отрезка.

Работы учащихся предложены в приложении.

В ходе проверки работы было выявлено следующее: дети не умеют переводить единицы измерения длины одного наименования в единицы измерения длины двух наименований и наоборот, измерять длину отрезка с помощью линейки.

В процентном соотношении.

Причиной выявленных пробелов знаний учащихся является следующее: а) маленькое количество упражнений на закрепление данной темы,

б) отсутствие развивающих упражнений при введении и закреплении данной темы,

в) отсутствие постановки учебной задачи при введении новых единиц измерения изучаемой величины,

г) отсутствие упражнений, направленных на формирование навыка использования инструментов для измерения величин.

2) 0бучающий эксперимент.

Устранение пробелов в знаниях учащихся по данной теме с использованием развивающих упражнений;

Формирования навыка использования инструментов для измерения величин (линейка);

Закрепление умений перевода единиц измерения длины одного наименования в единицы измерения длины двух наименований и наоборот.

В ходе проведения обучающего эксперимента было проведено два урока

Формирование временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе "Школа России"
математика школа величина временной
Теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»
1 Понятие величины. Измерение величин
2 История изучения величины «время»
3 Величины, изучаемые в начальной школе
4 Особенности математического блока УМК «Школа России»
Методические аспекты формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»
1 Методика формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России»
2 Описание опытно-экспериментальной работы
Заключение
Список литературы
Приложение
Введение
Основными базисными понятиями начального курса математики являются «число» и «величина». В методико-математической литературе, используемой при подготовке учителей начальных классов, этому уделяется много внимания. Однако «подлинное происхождение и сущность этих понятий, их взаимосвязь и взаимообусловленность остаются вне сознания подавляющего большинства школьников и, к сожалению, многих учителей» .
Как показывает практика, у учителя нередко наблюдается неуверенность в использовании термина «величина», а также входящего в сферу величин понятия времени. Это связано, во-первых, с высоким уровнем абстрактности изучаемого понятия. Во-вторых, процесс изучения времени значительно сложнее измерения длин, площадей, объемов и масс, т.к. за единицу времени не может быть взят произвольный промежуток, а только такой, который связан с периодически повторяющимся процессом. Поэтому существующее измерение времени основано на учете вращения Земли вокруг оси и обращения Земли вокруг Солнца и не является абсолютно точным.
Таким образом, цель работы состоит в исследовании методики изучения темы «Время. Измерение времени» на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России».
Объект исследования: процесс формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе.
Предмет исследования: методика формирования временных представлений в начальном курсе математики УМК «Школа России».
Исходя из вышесказанного, можно определить следующие задачи:
Раскрыть теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе: понятие величины, виды величин, аксиомы положительных скалярных величин, особенности измерения величин, историю изучения величины «время».
Рассмотреть величины, изучаемые в начальной школе.
Определить содержание подготовки учащихся по теме «Время. Измерение времени» на уроках математике в начальной школе.
Описать методику формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России» и проверить ее эффективность в ходе опытно-экспериментальной работы.
Методы исследования: теоретический анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, педагогическое наблюдение, тестирование, опытно - экспериментальная работа.
1. Теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»
1.1 Понятие величины. Измерение величин
Величина - неопределяемое понятие. Под величинами понимают свойства объектов, которые допускают сравнение (<, >, =) и которым можно поставить в соответствие некоторую количественную характеристику.
Форма, цвет, материал - не являются величинами, т.к. они не допускают сравнения (например, нельзя сказать «более деревянный» или «менее деревянный»). Длина отрезка, площадь фигуры, масса тела - величины.
Классификация величин.
Величины бывают:
1) Скалярные - определяются только числовым значением (длина отрезка, масса тела, площадь фигуры).
) Векторные - определяются числовым значением и направлением (скорость, сила, ускорение).
) Аддитивные и неаддитивные
Аддитивные - допускают сложение (длина отрезка, площадь фигуры).
Длина отрезка а равна сумме длин отрезков с и b (рис.1).
Неаддитивные - не допускают сложения (плотность, температура) (рис. 2).
) Однородные и неоднородные.
Однородные - выражают одно и тоже свойство объектов (длина отрезка и периметр треугольника).
Неоднородные - выражают различные свойства объектов (периметр треугольника и площадь треугольника).
Аксиомы положительных скалярных величин
Аксиома 1: Любые две положительные скалярные величины можно сравнить. Если a и b - однородные положительные скалярные величины, то для них справедливо одно из трех утверждений: 1) a=b или 2) ab.
Аксиома 2: Любые однородные положительные скалярные величины можно складывать. В результате получится величина того же рода.
Аксиома 3: Из большей положительной скалярной величины можно вычесть меньшую положительную скалярную величину, ей однородную. В результате получится величина того же рода.
Аксиома 4: Любую положительную скалярную величину можно умножить на положительное действительное число. В результате получится величина того же рода.
Аксиома 5: Любую положительную скалярную величину можно разделить на величину, ей однородную. В результате получится положительное действительное число.
Измерение положительных скалярных величин - это процесс установления отображения из множества положительных скалярных величин V+ во множество положительных действительных чисел R+.
Процесс измерения величин строится по-разному для каждого множества измеряемых объектов, но при этом имеются следующие общие моменты:
В каждом множестве измеряемых объектов выбирается один и называется единичным.
Величине единичного объекта ставится в соответствие положительное действительное число 1.
Величина измеряемого объекта делится на величину единичного объекта. В результате (по аксиоме 5 положительных скалярных величин) получится положительное действительное число - численное значение (мера) величины измеряемого объекта при выбранной единице измерения.
Символически: mе(a) - мера величины а при единице измерения е.
В процессе измерения используются следующие свойства меры:1. mе(e) = 1 - свойство меры единичного объекта.2. Равным величинам соответствуют равные положительные действительные числа: (а=b)=>(mе(a)=mе(b)) - свойство инвариантности меры.3. (с=a Å b)=>(mе(c)=mе(a)+mе(b)) - свойство аддитивности меры.4. mе(а) = mе1(а) × mе(е1) - свойство мультипликативности меры (позволяет переходить от одних единиц измерения к другим) .
1.2 История изучения величины «время»
На заре человечества осознание времени формировалось в мифологических образах, а с зарождением философии началась многовековая история философского осмысления времени .
С появлением научного мировоззрения время стало пристально рассматриваться во многих науках, особенно в физике и физико-математических дисциплинах.
За последние несколько десятилетий проблема времени «по числу посвященных ей исследований и публикаций вышла на одно из первых мест в мировой научной литературе, а по своему мировоззренческому значению занимает, пожалуй, ведущее место в философских исследованиях современности» .
Ещё Аристотель (384-322 гг. до н.э.) обратил свое внимание фактически на все основные аспекты феномена времени, и от его взглядов берут начало многие развитые впоследствии концепции времени .
Поставив проблему существования времени, как некоторой самостоятельной сущности, Аристотель в дальнейшем связывает бытие времени с движением и в конечном итоге приходит к выводу, что время - это мера движения. Рассматривая проблему взаимосвязи времени и движения, Аристотель доказывает, что «время не есть движение, но и не существует без движения» .
Согласно Аристотелю, время, фактически, - это некое равномерное течение, на фоне которого протекают все изменения и движения и по отношению к которому определяется быстрота или медленность всех движений и изменений. Что же касается самого времени, т. е. равномерного фона всех движений и изменений, вопрос о его быстроте или медленности бессмыслен, поскольку не по чему определять скорость течения времени.
Аристотель считал, что он нашел абсолютные «мировые часы» - равномерное суточное вращение восьмой, самой удаленной небесной сферы, или, иначе, «сферы неподвижных звезд». Но уже во II в. до н.э. Гиппархом (ок. 180 или 190-125 гг. до н.э.) была открыта прецессия.
Оказалось, что «сфера неподвижных звезд», помимо суточного вращения, имеет еще медленное прецессионное движение с периодом полного оборота в 26 000 лет. Для того, чтобы объяснить это явление и в то же время сохранить идею равномерного кругового вращения небесных сфер, в общепринятой в Средние века аристотелевско-птолемеевской системе мира за видимой «восьмой» небесной сферой помещалась не имеющая на себе никаких небесных тел и, следовательно, невидимая «девятая» сфера, которой и приписывалось равномерное суточное вращение.
При этом предполагалось, что равномерное суточное вращение последней, «девятой», сферы передается всем нижележащим сферам, которые, однако, имеют и собственные равномерные движения .
По мере выявления все более тонких деталей движения небесной сферы для объяснения этого движения оказалось недостаточно девяти сфер, и позднее вводится представление о «десятой» сфере, а во времена Николая Коперника были попытки ввести в картину мира даже «одиннадцатую» сферу .
Если учесть, что все эти дополнительные сферы не имели на себе каких-либо небесных тел и их вращение признавалось недоступным для наблюдения, то станет понятно, почему используемое астрономами в качестве «меры всех движений» равномерное «первое движение», т. е. суточное вращение небесной сферы, становится все более абстрактным, все более оторванным от материальных процессов и постепенно начинает осознаваться как некое абстрактное «математическое время» .
Экономическое развитие европейских стран и произошедшие к позднему Средневековью социальные сдвиги, изменение в образе жизни городских жителей вызвали потребность в радикальном изменении приемов и методов измерения времени.
В конце XIII - начале XIV вв. появляются механические часы, позволяющие отмерять равномерно текущее время . Появление механических часов внесло радикальные изменения в практику измерения времени и использования временных категорий, как в обыденной жизни, так и в научных исследованиях. Вполне естественно, что переход городских жителей Европы к равномерному «городскому» времени не мог не вызвать интереса образованных людей и тем более философов к проблеме времени и не вызвать среди них оживленных дискуссий. Использование неравных и изменяющихся в течение года «дневных» и «ночных» часов делало невозможным развитие таких наук, которые требовали сколь-либо точного измерения времени. Лишь астрономы, которые не могли обойтись без измерения времени, делили полные сутки на 24 часа, в силу чего они, в отличие от остальных людей, имели равные и не изменяющиеся в течение года часы.
С крушением геоцентрической картины мира этот процесс должен был завершиться полным отрывом используемого астрономами «равномерного времени» от каких бы то ни было материальных процессов, в результате чего наиболее равномерное, наиболее «истинное» время, время «в наиболее собственном смысле» должно было превратиться в некий абстрактный равномерный и не связанный с материальными процессами «поток» часов, суток, лет и т. д. и осознаваться как некая универсальная астрономическая, а возможно, и вообще «математическая» независимая равномерная переменная величина.
И действительно, «переменные величины» в математике первоначально трактовались как величины, зависящие от равномерно текущего времени .
Декарт причисляет идею длительности к разряду ясных и отчетливых идей, которые не могут быть ложными, а во-вторых, деление предмета на равные части, т. е. «измерение», согласно Декарту, не всегда является только мысленным, измерение может опираться и на объективную расчлененность предмета на равные части. В частности, «чем-то реальным является... разделение века на годы и дни...»,поскольку опирается на объективную расчлененность веков на годы и дни .
Определяя понятие времени, Р. Декарт пишет: «...Время, которое мы отличаем от длительности, взятой вообще, и называем числом движения, есть лишь известный способ, каким мы эту длительность мыслим...» .
Противопоставление времени и длительности полностью преодолевается современником Рене Декарта Пьером Гассенди. Критикуя Р. Декарта за попытку противопоставить время как меру «истинной длительности» («абсолютное время») времени как мере длительности конкретной длящейся вещи, П. Гассенди пишет: «Я, по крайней мере, знаю одно-единственное время, которое, конечно (я этого не отрицаю), может называться или считаться абстрактным, поскольку оно не зависит от вещей, так как существуют вещи или нет, движутся они или находятся в состоянии покоя, оно всегда течет равномерно, не подвергаясь никаким изменениям. Существует ли кроме этого времени какое-то другое, которое могло бы называться или считаться конкретным постольку, поскольку оно связано с вещами, т. е. поскольку вещи длятся в нем, я никоим образом не могу знать» .
Итак, у Гассенди время обретает характер некоторой объективной, ни от каких материальных процессов не зависящей и абсолютно равномерно текущей сущности.
Сопоставим характеристику этого «одного-единственного времени» с ньютоновской характеристикой «абсолютного времени» классической физики. «Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно, и иначе называется длительностью. Относительное, кажущееся или обыденное время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения, мера продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного математического времени, как то: час, день, месяц, год» .
Таким образом, согласно И. Ньютону, объективно, независимо ни от чего внешнего, ни от каких материальных процессов существует только «абсолютное, истинное математическое время», которое, несмотря ни на что, течет абсолютно равномерно, и иначе называется длительностью.
Относительное же время - это не какое-то особое время, текущее на ряду с «абсолютным временем», а доступная для простых людей степень приближения к абсолютному времени, поскольку это отмеряемая при помощи приблизительно равномерны» материальных процессов мера длительности («продолжительности»), т. е. мера «абсолютного времени». «Абсолютное время, - пишет И. Ньютон, - различается в астрономии от обыденного солнечного времени уравнением времени. Ибо естественные солнечные сутки, принимаемые при обыденном измерении времени за равные, на самом деле между собой не равны. Это неравенство и исправляется астрономами, чтобы при измерениях движений небесных светил применять более правильное время. Возможно, что не существует (в природе) такого равномерного движения, которым время могло бы измеряться с совершенною точностью. Все движения могу ускоряться или замедляться, течение же абсолютного времени изменяться не может. Длительность или продолжительность существования вещей одна и та же, быстры ли движения (по которым измеряется время), медленны ли, или их совсем нет, поэтому она надлежащим образом и отличается от своей, доступной чувствам, меры, будучи из нее выводимой при помощи астрономического уравнения» .
Наблюдается удивительное сходство взглядов на время И. Ньютона и П. Гассенди. Сходство и даже почти полное совпадение взглядов Ньютона и Гассенди на время связано с тем, что для них, как для естествоиспытателей, была привычной сформировавшаяся еще в XIV в., а к XVII в. уже общепринятая среди астрономов идея «математического времени». Оно понималось как оторванное от доступных наблюдению материальных процессов абсолютно равномерное «течение», «поток», или «дление», идея, возникшая, из представления об «истинном времени», или «времени в собственном значении», связанном с равномерным суточным вращением невидимых, но, с точки зрения астрономов и философов Средневековья, реально существующих небесных сфер.
После крушения в XVI в. геоцентрической картины мира абсолютно равномерное «математическое время» потеряло связь с материальными процессами и превратилось просто в равномерное деление, т. е. равномерный поток часов, суток, лет и т. д.
Утверждению в сознании широкого круга городских жителей подобных представлений о времени, несомненно, должно было способствовать и то обстоятельство, что в практике повседневного счета (измерения) времени Европа на протяжении XIV-XVI вв. постепенно переходит от неравномерных и постоянно изменяющихся «дневных» и «ночных» часов к равным и неизменным в течение суток и года часам.
Однако анализ понятия и критериев равномерности убеждает, что равномерность есть соотносительное свойство сравниваемых между собой материальных процессов и что в принципе возможно существование неограниченного множества удовлетворяющих критериям равномерности классов соравномерных процессов, каждый из которых в соответствующей области материальной действительности пригоден для введения единиц измерения длительности и практического измерения времени.
Как указывается в «Полном энциклопедическом справочнике», в настоящее время в рамках эфемеридного времени выделяются следующие виды времени: звездное, солнечное, всемирное, местное, поясное, декретное .
К единицам измерения времени относятся год, месяц, сутки, час, минута, секунда .
Система счисления времени варьируется в различных календарях, среди которых можно выделить: древнеегипетский, шумерийский, вавилонский, ханаанейский, древнеиндийский, майянский, китайский, республиканский календарь французской революции, византийский и православный, юлианский или астрономический календарь .
1.3 Величины, изучаемые в начальной школе
Величина, так же как и число, является основным понятием курса математики начальных классов, в задачу которого входит формирование у детей представления о величине как о некотором свойстве предметов и явлений, которое прежде всего связано с измерением .
В начальных классах используется интуитивный подход, в соответствии с которым формируются представления о величинах как о некоторых свойствах предметов или явлений, связанных, прежде всего с измерением. При формировании представления о величине большую роль играет система заданий. В процессе выполнения этих заданий, практических работ на сравнение величин и их измерение учащиеся могут получить глубокое представление о каждой величине, предусмотренной программой .
Выделяются следующие основные подходы к рассмотрению темы «Величины» в начальном курсе математики:
· М.И.Моро, М.А.Бантовой и др.;
· Н.Б.Истоминой;
· С.И.Волковой, Н.Н.Столяровой «Развитие познавательных способностей учащихся на уроках математики»;
· С.И.Волковой, О.Л.Пчелкиной «Математика и конструирование»;
· дидактическая система Л.В.Занкова;
· курс по системе укрупнения дидактической единицы П.М.Эрдниева. Особенности: Величины рассматриваются в тесной связи с изучением целых неотрицательных чисел и дробей: обучение измерениям связывают с изучением счета; новые единицы измерения вводят сразу после введения соответствующих счетных единиц; образование, запись и чтение именованных чисел изучают параллельно с нумерацией абстрактных чисел; арифметические действия выполняют над абстрактными и над именованными числами.
По этому принципу построены программы:
· К.И.Нешкова, Ю.Н.Макарычева, А.М.Пышкало;
· В.Н.Рудницкой;
· А.И. Маркушевича;
· Н.Г.Салминой, В.А.Тарасова.
Особенности: Важнейшим понятием является понятие множества, на основе которого рассматриваются такие понятия, как «число», и такие отношения, как «равно», «меньше», «больше». Сведения о величинах рассматриваются в связи с измерениями и рассредоточены в соответствии с изученными числами.
По этому принципу построена программа: Л.Г.Петерсон.
Особенности: Понятия множества и величины лежат в основе формирования представлений о числах.
Особенности: Понятия множества и величины лежат в основе формирования представлений о числах.
По этому принципу построены программы:
· по системе обучения Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова;
· Л.М.Фридмана.
Особенности: Формирование понятия величины, т.е. введение в область отношений величин, раскрытие отношения величин как всеобщей формы числа, последовательное введение различных частных видов чисел как конкретизация общего отношения величин в определенных условиях, построение обобщенных способов действий с числами.
Младшие школьники изучают такие величины как цена, стоимость, масса, емкость, длина, время, скорость площадь и др. Эти величины включены в начальный курс с целью обеспечения практической надобности в измерении длины предметов, площади, массы; для лучшего усвоения нумерации и арифметических действий; для развития пространственных представлений.
Важнейшее место в этой работе отводится формированию умений и навыков, связанных с измерением ряда величин, практическому ознакомлению детей с соответствующими измерительными приборами и их шкалами, ознакомлению с системой единиц измерения и с переходом от одной единицы измерения к другим (таблица мер).
Таким образом, в основе методики изучения величин лежит практическая деятельность учащихся, связанная с овладением навыками измерения таких величин, как длина отрезка, площадь фигуры, масса тела, время.
Изучение величин и их измерение идет параллельно с ознакомлением учащихся с числами, фигурами. Для этого используется система текстовых задач, при решении которых учащиеся выполняют ряд действий над числами представляющими, в частности, некоторые значения той или иной величины (длины, площади, массы, времени, скорости). Большое внимание уделяется решению задач с пропорциональными величинами, такими как (таблица 1):
Таблица 1

Расстояние (S)

Скорость (V)

Работа (A)

Производительность (ν)

Стоимость (C)

Количество товара (n)

Количество квартир в доме (K)

Количество квартир на одном этаже (k)

Количество этажей (n)

Объем бассейна (V)

Скорость наполнения бассейна (a)

Время наполнения (t)

Площадь прямоугольника (S)

Ширина (b)

Количество мест в театре (T)

Количество мест в ряду (t)

Количество рядов (n)

Масса заготовленного варенья (M)

Масса варенья в одной банке (m)

Количество банок (n)

Расход ткани на платье (P)

Расход ткани на одно платье (p)

Количество платьев (n)

Специфическими, относящимися только к усвоению представлений о величинах, являются задачи, связанные с выработкой измерительных навыков, выработкой навыков «чтения» шкалы мерной линейки, часовой шкалы, шкалы торговых весов и т.п. Здесь важно сформировать у детей умение правильно устанавливать измерительный инструмент или прибор.
Таким образом, после окончания начальной школы дети должны иметь следующие представления о величинах:
Знать единицы измерения величин и соотношения между крупными и мелкими единицами измерения.
Уметь пользоваться измерительными приборами.
Уметь измерять величины и выражать результат в различных единицах измерения.
Уметь сравнивать величины, то есть устанавливать отношения «больше», «меньше» и «равно».
Уметь выполнять все арифметические действия с единицами измерения величин.
Данные задачи находят отражение при реализации следующих этапов изучения величины в начальной школе (программа «Школа России» ):
I этап. Выявление представлений ребенка о данной величине. Введение понятия и соответствующего термина.
III этап. Знакомство с единицей измерения величины и с измерительным прибором.
IV этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.
V этап. Знакомство с новыми единицами измерения величин в тесной связи с изучением нумерации по концентрам. Перевод одних единиц нумерации в другие.

VI этап. Перевод величин, выраженных в единицах одних наименований, в однородные величины, выраженные в единицах других наименований.
VII этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах двух различных наименований.
VIII этап. Умножение и деление величины на число.
В программе Н.Б.Истоминой последовательность изучения величин схожа с указанной выше, но имеются некоторые отличия:
I этап. Выяснение и уточнение имеющихся у детей представлений о данной величине, которые они выражают в речи с помощью различных житейских понятий.
II этап. Сравнение однородных величин (визуально, ощущением, положением, приложением, с помощью различных мерок).
III этап. Знакомство с единицами измерения величин, с соотношениями между ними и с измерительным прибором.
IV этап. Выполнение арифметических действий с величинами: сложение, вычитание, умножение и деление величины на число.
В программе Л.Г.Петерсон дополнительно учащиеся рассматривают исторические сведения, свойства величин:
I этап (подготовительный). Формирование представлений детей о величине, на основе которых строится ознакомление с изучаемой величиной.
II этап. Непосредственное сравнение величин.
III этап. Опосредованное сравнение величин с помощью мерки.
IV этап. Обоснование необходимости использования при сравнении величин единой мерки..
V этап. Исторические сведения о величинах и их измерении..

VI этап. Современные единицы измерения, соотношения между ними. Перевод величин, выраженных в единицах одного наименования, в другие.
VII этап. Сложение и вычитание величин. Решение текстовых задач.
VIII этап. Свойства величин.
) Изученная величина - это определенное свойство предметов, которое позволяет их сравнивать (т.е. устанавливать отношения больше, меньше, равно).
) Невозможность непосредственного сравнения величин (визуально, наложением) приводит к необходимости их измерения.
) Чтобы измерить величину, нужно выбрать мерку (единицу измерения) и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине. Получается число, которое называется значением величины. Таким образом, сравнение величин сводится к сравнению чисел (значений величин). Причем результат измерения зависит от выбранной мерки: чем больше мерка, тем меньше раз она содержится в измеряемом объекте.
) Сравнивать, складывать величины можно лишь тогда, когда они измерены одинаковыми мерками.
Между тем, С.Л.Царева, автор методического пособия для учителей начальных классов отмечает, что при обучении учащихся математике по некоторым системам и учебникам «...интуитивные представления детей о конкретных величинах не только не уточняются, но в определенной мере искажаются: авторы отождествляют объект и величину, характеризующую его, они также не разводят понятия величина, значение величины, числовое значение величины, смешивают физический и математический смысл величины. В результате представления учащихся о величине, полученные из учебников этого направления, могут быть противоречивыми, алогичными и формальными» .
С этим нельзя не согласиться, т.к. в связи с использованием (верным и не верным) различных терминов в практической деятельности учителей возникает желание привести трактовки величин в начальных классах в соответствие с трактовкой этих понятий в науке.
Как отмечает Р.Н.Шикова, предваряя изучение конкретных величин, прежде всего, необходимо ознакомить учащихся со свойствами различных предметов и научить учащихся выявлять как качественные, так и количественные свойства: например, сравнить 2 кубика одинакового цвета по размеру и по массе. Сравнивая большой и маленький кубики, ученики приходят к выводу, что один из них больше по размеру, а другой больше, например, по массе. Выполняя такие упражнения, учащиеся начинают понимать, что сравнение нужно проводить по определенному свойству. При измерении тех или иных величин важно, чтобы учащиеся осознавали, что величина - это свойство предметов, по отношению к которому можно проводить сравнение и сложение .
1.4 Особенности математического блока УМК «Школа России»
Данный начальный курс математики интегрированный: в нем объедены арифметический, алгебраический и геометрический материал. Основу составляют представления о натуральном числе и нуле, четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Важное место занимает ознакомление с величинами и их измерением.
Курс построен концентрически, что позволяет соблюсти постепенность в нарастании трудности учебного материала, и создает хорошие условия для совершенствования формируемых знаний, умений и навыков.
Ведущие принципы обучения:
· учет возрастных особенностей учащихся;
· органическое сочетание обучения и воспитания;
· усвоение знаний и развитие познавательных способностей;
· практическая направленность преподавания;
· индивидуальный подход к учащимся.
Практическая направленность методики выражена в следующих положениях:
Сознательное усвоение детьми различных приемов вычислений обеспечивается за счет использования рационально подобранных средств наглядности и моделирования с их помощью тех операций, которые лежат в основе рассматриваемого приема. Предусмотрен постепенный переход к обоснованию вычислительных приемов на основе изученных теоретических положений (переместительное свойство сложения, связь между сложением и вычитанием, сочетательное свойство сложения и др.).
В программе заложен механизм формирования у детей сознательных и прочных навыков устных и письменных вычислений, доведения до автоматизма знания табличных случаев действий. Этому способствует хорошо распределенная во времени, оптимальная насыщенная система упражнений, а также ограничение действий над числами пределами миллиона, отказ от изучения ряда относительно сложных для детей этого возраста вопросов, не имеющих принципиального значения для продолжения математического образования.
Алгоритмизация курса выражена в усилении роли алгоритмов при рассмотрении таких вопросов, как письменные вычисления, правила выполнения действий в числовых выражениях, проверка действий и т.п. Введены новые алгоритмы, усовершенствованы традиционные.
Рассмотрение теоретических вопросов курса опирается на жизненный опыт ребенка, практические работы, различные средства наглядности, подведение детей на основе собственных наблюдений к индуктивным выводам, сразу же находящим применение в учебной практике.
Система упражнений, направленных на выработку навыков, предусматривает их применение в разнообразных условиях. Тренировочные упражнения рационально распределены во времени. Значительно усилено внимание к практическим упражнениям с раздаточным материалом, к использованию схематических рисунков, а также предусмотрена вариативность в приемах выполнения действий, в решении задач.
На первых порах обучения важное значение имеет игровая деятельность детей на уроках математики. В программе приведен примерный перечень дидактических игр и игровых упражнений.
При формировании представлений о величинах(длине, массе, площади и др.) учитель опирается на опыт ребенка, уточняет и расширяет его. Так, при ознакомлении с понятием длины сначала используют такие приемы, как сравнение «на глаз», затем прием наложения, на следующем этапе вводятся различные мерки. В ходе выполнения таких заданий учащиеся подводятся к самостоятельному выводу о необходимости введения единых общепринятых единиц измерения каждой величины. Дети знакомятся с измерительными инструментами.
класс: В концентре «Десяток» учащиеся знакомятся с длиной отрезка, единицей измерения - сантиметр. Организуется работа по формированию временных представлений: сначала, потом, до, после, раньше, позже. При изучении чисел от 11 до 20 полученные знания закрепляются, вводится новая единица измерения - дециметр. Устанавливаются соотношения между ними. Кроме того, происходит знакомство с часом, дети учатся определять время по часам с точностью до часа. Изучение массы и объема начинается с введения единиц измерения - килограмм и литр.
класс: Полученные в 1 классе знания закрепляются и уточняются на новом числовом множестве - числа от 1 до 100. Вводится понятие - длина ломаной. Рассматриваются единицы измерения и соотношения между ними: длины - сантиметр, дециметр, миллиметр; времени - час, минута (определение времени по часам с точностью до минуты).
Кроме того, учащиеся знакомятся с периметром многоугольника.
класс: Площадь. Единицы площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр. Соотношение между ними. Площадь прямоугольника (квадрата).
Единицы времени: год, месяц, сутки.
Единица длины - метр. Соотношения метра и миллиметра, сантиметра, дециметра.
Единица массы - грамм. Соотношение грамма и килограмма.
Ознакомление с единицами измерения величин и их соотношениями проводится в течение всех лет обучения в начальной школе.
Одной из основных задач четвертого года обучения становится пополнение и обобщение этих знаний. Необходимо рассмотреть соотношение между единицами каждой величины.
Единицы длины: миллиметр, сантиметр, дециметр, километр.
Единицы площади: квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр, квадратный километр, ар, гектар.
Единицы массы: грамм, килограмм, центнер, тонна.
Единицы времени: секунда, минута, час, сутки, месяц, год, век.
Эти соотношения усваиваются учащимися при выполнении различных заданий и разучивании соответствующих таблиц. Программой предусмотрено также изучение приемов сложения и вычитания значений одной и той же величины, а также умножение и деление значений величины на однозначное число.
Величина - неопределяемое понятие. Под величинами понимают свойства объектов, которые допускают сравнение (<, >, =) и которым можно поставить в соответствие некоторую количественную характеристику.
Величины бывают: скалярные, векторные, аддитивные и неаддитивные, однородные и неоднородные.
Длина отрезка, площадь фигуры, масса тела, время - положительные скалярные величины.
Положительной скалярной величине можно поставить в соответствие количественную характеристику - численное значение (меру) при выбранной единице измерения. Отыскать численное значение величины возможно в результате ее измерения.
Измерение положительных скалярных величин - это процесс установления отображения из множества положительных скалярных величин V+ во множество положительных действительных чисел R+.
В результате такого отображения каждой положительной скалярной величине ставится в соответствие единственное положительное действительное число, называемое численным значением величины или мерой.
2. В начальных классах изучаются такие величины как цена, стоимость, масса, емкость, длина, время, скорость площадь и др. Эти величины включены в начальный курс с целью обеспечения практической надобности в измерении длины предметов, площади, массы; для лучшего усвоения нумерации и арифметических действий; для развития пространственных представлений. Большое внимание уделяется решению задач с пропорциональными величинами.
3. Начальный курс математики по программе «Школа России» интегрированный: в нем объедены арифметический, алгебраический и геометрический материал. Основу составляют представления о натуральном числе и нуле, четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Важное место занимает ознакомление с величинами и их измерением.
2. Методические аспекты формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»
.1 Методика формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России»
Задачи изучения темы:
· познакомить учащихся с единицами времени и их соотношениями;
· научить определять время по часам;
Трудности изучения темы «Время. Измерение времени»:
) Время всегда в движении, течение времени всегда совершается в одном направлении - от прошлого к будущему, оно необратимо, его нельзя задержать, вернуть, «показать» (текучесть, непрерывность, необратимость).
) Время воспринимается человеком опосредованно, через конкретизацию временных единиц и отношений в постоянно повторяющихся явлениях жизни и деятельности.
) Все меры времени (минута, час, сутки, неделя, месяц, год) представляют определенную систему временных эталонов, где каждая мера складывается из единиц предыдущей и служит основанием для построения последующей. Соотношение единиц не равно 10n.
Сутки - время обращения Земли вокруг своей оси.
Год - время обращения Земли вокруг Солнца.
Первые представления о времени, о временных промежутках, об измерении времени учащиеся получают еще до школы. Уже в детском саду дети знают название дней недели, месяцев в году, имеют представление о смене дня и ночи, некоторые умеют даже определять время по часам. Однако временная последовательность событий (что было раньше, что позже), понятие о продолжительности событий усваивается детьми с большим трудом. Типичными для них являются ошибки в установлении последовательности событий (вчера, сегодня, завтра,…)
В соответствии с программой «Школа России» знакомство с величиной «время» и единицами ее измерения начинает осуществляться со II класса. Однако, учитывая сложность процесса формирования временных представлений, необходимо с I класса вести работу в этом направлении.
При этом можно выделить следующие основные требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся:
К концу 4 класса учащиеся должны знать:
должны уметь:
Узнавать время по часам;
применять к решению текстовых задач знание изученных связей между величинами.
Первые представления о времени дети получают в дошкольный период. Смена дня и ночи, смена времен года, повторяемость режимных моментов в жизни ребенка - все это формирует временные представления. Однако как временная последовательность событий (что было раньше, что позже), так и особенно понятие о продолжительности событий усваиваются детьми с большим трудом. Типичными являются ошибки детей в установлении последовательности событий (например, дети смешивают понятия «вчера» и «завтра»).
Временные представления у первоклассников формируются, как и у дошкольников, прежде всего в процессе их практической (учебной) деятельности: режим дня, ведение календаря природы, восприятие последовательности событий при чтении сказок, рассказов, при просмотре фильмов, ежедневная запись в тетрадях даты работы - все это помогает ребенку увидеть изменение времени, почувствовать течение времени. Программа предусматривает в 1 классе знакомство детей с названиями дней недели, их последовательностью. В качестве наглядного пособия используется отрывной календарь или модель настольного календаря.
Самые первые уроки в 1 классе посвящены закреплению полученных в дошкольном возрасте знаний, уточняются понятия: «сначала», «потом», «раньше», «позже».
Начиная с 1 класса необходимо приступить к сравнению знакомых, часто встречающихся в опыте детей временных промежутков. Например, что длится дольше: урок или перемена, учебная четверть или каникулы, что короче по времени: занятия ученика в школе или рабочий день родителей? Такие задания способствуют развитию чувства времени. В процессе решения задач, связанных с понятием разности, дети приступают к сравнению возраста людей и постепенно овладевают важными понятиями: старше - моложе - одинаковые по возрасту.
Ввиду большой практической потребности полезно ознакомить первоклассников с тем, как по часам определяется время, при этом достаточно, если дети научатся пока вести отсчет времени с точностью до часа.
Знакомство с единицами времени способствуют уточнению временных представлений детей. Знание количественных отношений единиц измерения помогает сравнивать и оценивать по продолжительности промежутки времени, выраженные в тех или иных единицах времени. Такие единицы времени, как месяц и год, сутки, час и минута изучаются во 2 классе, а век и секунда - в 3 и 4 классах. Необходимо формировать у детей конкретные представления о каждой единице времени, добиваться усвоения их соотношений, научить пользоваться календарем и часами и с их помощью решать несложные задачи на вычисление продолжительности событий, если известны его начало и конец, а также задачи, обратные данной (т.е. на установление начала и конца события).
При знакомстве с часами обращается внимание на 12 и 24 - часовое счисление времени суток. Дети узнают, что началом суток является полночь (0 ч), что счет часов в течение суток идет от начала суток, поэтому после полудня (12 ч) каждый час имеет другой порядковый номер (1 час дня - это 13 ч, 2 часа дня - 14 ч и т.д.). Усвоению этой системы отсчета помогает изображение ее с помощью отрезка (рис.9):
Чтобы дети научились устанавливать время по часам, полезно изготовить с ними на уроках труда циферблат с подвижными стрелками и, используя эту модель часов, выполнять практические упражнения. Учащимся сообщается, что «Маленькая стрелка часов - часовая. Она проходит от одной большой чёрточки до другой за 1 час. Большая стрелка - минутная. Она проходит от одной маленькой чёрточки до другой за 1 минуту. В 1 часе 60 минут».
Чтобы подготовить детей к восприятию единиц времени, необходимо во 2 классе продолжать систематическую работу с календарем, начатую в 1 классе. Подводя итог и обобщая наблюдения, полезно обращать внимание детей на последовательность месяцев и количество дней в каждом месяце. При записи даты в тетрадях следует также почаще задавать вопросы на выяснение последовательности месяцев (Сегодня 1 октября. А предыдущий месяц как назывался? Какой следующий месяц и т.п.).
Знакомя детей с месяцем и годом, учитель использует табель-календарь. Работая с календарем, учащиеся выписывают названия месяцев по порядку и количество дней в каждом месяце, выделяют одинаковые по продолжительности месяцы, отмечают самый короткий, определяют порядковый номер месяца, устанавливают день недели, если известно число и месяц, решают задачи на нахождение продолжительности событий.
Наибольшую трудность в практическом отношении представляет вопрос об определении промежутка времени между двумя событиями в течение недели, месяца, года:
1) Определение промежутка времени в течение одного месяца: «Сколько дней пройдет от 5 ноября до 27 ноября?»
2) Определение промежутка времени в течение двух смежных месяцев: «Посевные работы начали 24 апреля, а закончили 5 мая. Сколько времени длились посевные работы?»
3) Определение промежутка времени между двумя несмежными месяцами: «Запуск первого космонавта Ю. Гагарина на корабле «Восток» был произведен 12 апреля 1961г., запуск второго космонавта Ю.Титова на корабле «Восток - 2» был произведен 6 августа того же года. Сколько времени прошло от начала запуска первого корабля до начала второго?»
Понятие о сутках раскрывается через близкие детям понятия о частях суток - утро, день, вечер, ночь. Кроме того, опираются на представление временной последовательности: вчера, сегодня, завтра. Детям предлагают перечислить, чем они были заняты от вчерашнего утра до сегодняшнего утра, что будут делать, начиная с сегодняшнего вечера и до завтрашнего вечера и т.п. «Такие промежутки времени, - сообщает учитель, - называют сутками». Дети устанавливают, сколько суток проходит со вчерашнего вечера до завтрашнего вечера, сколько суток прошло от начала недели (понедельника) до субботы, которые по счету сутки наступят и т.п.
Следующими рассматриваются час и минута. Конкретные представления о соответствующих промежутках времени также формируются через практическую деятельность детей, через наблюдения. Так, час - это продолжительность одного урока и перемены. Чтобы ощутить время продолжительностью в 1 минуту, включают упражнения, с помощью которых дети узнают, что можно сделать за минуту (до какого числа успеешь сосчитать, сколько можно решить примеров, какое расстояние пройти и т.п.).
На первом же уроке по знакомству с часом и минутой сообщаются отношения между мерами времени: В 1 сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут.
Усвоению отношений между единицами времени помогает таблица мер (рис. 11), которую следует повесить в классе, а также систематические упражнения в преобразовании именованных чисел, выраженных в мерах времени (сколько минут составляет 1 час и 30 минут, сколько суток составляет 72 часа и т.п.), их сравнении, нахождении различных долей любой единицы времени, решение задач на вычисление времени.
В 3 классе таблица единиц времени пополняется - учащиеся знакомятся с веком и секундой. Конкретное представление о продолжительности секунды дети получают на основе наблюдений (устанавливают, что можно сделать за секунду).
Век - самая крупная из рассматриваемых единиц времени. Некоторое представление о продолжительности отрезка времени в 100 лет дети могут получить, сравнивая свой возраст, возраст близких людей и т.п.. Можно для наглядности начертить соответствующие отрезки на миллиметровой бумаге, приняв, например, 1 мм за 1 год.
Знания о системе единиц расширяются. Дети узнают, что основными единицами измерения являются сутки - время, в течение которого Земля делает полный оборот вокруг своей оси, и год - время, в течение которого Земля делает полный оборот вокруг Солнца. Из этих основных единиц образованы все остальные.
Дети учатся осуществлять перевод величин, выраженных в единицах одних наименований, в однородные величины, выраженные в единицах других наименований.
Учащимся достаточно часто предлагаются задания следующего характера:
« Вырази:
1) в часах: 2 сут, 10 сут., 12 ч, 120 мин;
) в сутках: 48 ч, 72 ч, 96 ч, 2 недели;
) в месяцах: 3 года, 8 лет и 4 мес;
4) в годах: 24 мес, 60 мес, 84 мес, 96 мес.»
В 3 классе рассматриваются простейшие случаи сложения и вычитания простых и составных именованных чисел, выраженных в единицах времени. Преобразования чисел при этом выполняют попутно, без предварительной замены заданных составных чисел простыми.
Учащимся сообщается, что сложение и вычитание величин, выраженных в единицах разных наименований может быть устным или письменным. Если легко выполнить операцию, то вычисление выполняется устно. Для этого достаточно отдельно сложить величины одного наименования. В случае необходимости выполнить перевод и записать ответ. Если устно выполнить операцию сложно, то тогда величины, записанные в единицах двух различных наименований, нужно выразить в единицах одного наименования (наименьшего). Затем выполнить операцию над полученными многозначными числами. Выполнить обратный перевод. Показать целесообразность введения новой величины наглядно.
Например: 1 ч 30 мин + 25 мин = 1 ч 55 мин
Записывай вычисления в строчку:
ч 36 мин - 9 ч 20 мин 30 с + 25 с
ч 36 мин - 9 мин 2 мин 30 с - 1 мин
На данном этапе учащимся предлагаются следующие задания:
1. Какое время показывают часы?
На сколько минут спешат каждые из этих часов, если на самом деле сейчас 7 ч 25 мин?
Мальчики играли в шахматы. Первая партия заняла у них 30 мин, а на вторую они затратили на 10 мин меньше. Сколько времени заняла вторая партия? Измени вопрос так, чтобы нельзя было решать задачу одним действием.
3. Дополни задачи и реши их.
· Вася делал зарядку 12 минут, а его сестра - на 5 минут меньше.
· Кате 10 лет. На сколько лет Катя старше своего братишки?
Вася 45 минут смотрел по телевизору фильм про Тарзана и ещё 15 минут - мультфильм. Сколько всего минут Вася смотрел эти фильмы?
5. Первый мультфильм шел по телевизору 15 мин, второй - на 8 мин меньше, а третий столько, сколько первый и второй вместе. Поставь разные вопросы и реши задачи.
6. Правильное время показывают только светящиеся электронные часы. Остальные идут, но требуют ремонта. На сколько отстают или ушли вперёд все остальные часы? (рис.14)
На поездку в магазин и обратно мальчик затратил 1 ч 10 мин. Туда он ехал на велосипеде 25 мин, в магазине пробыл 15 мин. Сколько минут мальчик ехал обратно?
Ученик затратил на решение задачи 6 мин, а на решение каждого из примеров по 3 мин. Сколько всего времени затратил ученик на выполнение этого домашнего задания? Заметь по часам и запиши, сколько времени у тебя ушло.
Помимо сложения и вычитания именованных чисел, учащиеся знакомятся с умножением и делением величины на число.
1. За 2 ч езды на легковой машине обычно расходуется 18 л бензина. На сколько часов езды хватит 45 л бензина?
Вычисли: 2 мин 30 с * 5 2 ч 30 мин: 5
Сколько минут составляет 3-я часть часа? 4-я? 5-я? 10-я?
В учебниках предлагается достаточно большое количество задач, где учащимся необходимо определить время движения по известному расстоянию и скорости, а также время, за которое была выполнена работа с известной производительностью труда.
Таблица 2

Тип упражнений

Кол-во по классам

Сравнение временных промежутков ощущением

1 класс: 4 2-4 класс: 0

Измерение времени по календарю

1 класс: 10; 2 класс: 25; 3 класс: 29 4 класс: 4

Измерение времени по часам

1 класс: 0; 2 класс: 10; 3 класс: 24 4 класс: 5

Перевод одних единиц измерения времени в другие

1 класс: 0; 2 класс: 0; 3 класс: 5 4 класс: 25

Сравнение величин, выраженных в единицах одного и различных наименований

1 класс: 30; 2 класс: 19; 3 класс: 7 4 класс: 7

Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного и различных наименований

1 класс: 33; 2 класс: 77; 3 класс: 22 4 класс: 43

Умножение и деление величины на число

1 класс: 0; 2 класс: 55; 3 класс: 149 4 класс: 355

Из таблицы видно, что количество упражнений с каждым годом возрастает, на наш взгляд, это связано с тем, что к 4 классу учащиеся уже познакомились со всеми единицами измерения времени, и теперь задача учителя состоит в закреплении изученного материала. Следует отметить также разнообразие заданий и регулярность их введения в учебный процесс.

В ходе выполнения данной выпускной квалификационной работы в мае 2010г. на базе 4А класса (в количестве 20 учащихся) в МОУ «Муравьевская средняя общеобразовательная школа» Называевского района Омской области была проведена опытно-экспериментальная работа, которая состояла из двух этапов: поискового и контрольного.
1. Поисковый этап
В ходе реализации данного этапа эксперимента были достигнуты следующие результаты:
Раскрыты теоретические основы изучения величин в начальной школе.
Рассмотрены методические аспекты формирования временных представлений в начальном курсе математики УМК «Школа России».
2. Контрольный этап
На данном этапе с целью определения эффективности рассматриваемой методики формирования временных представлений в начальном курсе математики УМК «Школа России» учащимся 4 класса был предложен тест (таблица 3):
Таблица 3

Варианты ответа

Укажи ложное высказывание: 1) «В году 12 месяцев»; 2) «Февраль - самый короткий месяц в году»; 3) «Январь - первый месяц зимы»; 4) «Июль - летний месяц»

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

Сколько дней в декаде?

1) 5; 2) 7; 3) 10; 4) 30.

Укажи месяцы, в которых 30 дней.

1) август, март, май, январь; 2) февраль, май, июнь, июль; 3) апрель, июнь, сентябрь, ноябрь; 4) март, май, июль.

В 2004 г. в феврале было 29 суток. В каком году это еще будет?

1) 2006; 2) 2007; 3) 2008; 4) 2009.

1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5.

Сколько полных оборотов сделает минутная стрелка за 1 час?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

Сколько секунд в двух минутах?

1) 60; 2) 100; 3) 120; 4) 200.

Укажи верное равенство

1) 333мин=3ч33мин; 2) 240 мин = 4 ч; 3) 100 мин = 10 ч; 4) 60 мин = 600 с

Укажи неверное неравенство

1) 2 ч > 60 мин; 2) 180 мин < 7 ч; 3) 60 с > 60 мин; 4) 300 мин< 6 ч

Спектакль начался в 13 ч и продолжался 3 ч 15 мин. Когда закончился этот спектакль?

1) в 16 ч 15 мин; 2) в 10 ч 15 мин; 3) в 15 ч 16 мин; 4) другой ответ.

Найди значение выражения: 5 ч 20 мин - 2 ч 40 мин

1) 280 мин; 2) 760 мин; 3) 320 мин; 4) 160 мин

Чему равна треть суток?

1) 4 ч; 2) 6 ч; 3) 8 ч; 4) 12 ч

Часы показывают 8 ч утра. Во сколько раз оставшаяся часть суток больше прошедшей?

Реши задачу: «12 мая мама сказала, что поезд, на котором приедет папа, прибудет в Москву через сутки и 3 ч. Петя посмотрел на часы - было 17 ч. Когда и в котором часу прибывает этот поезд?»

Реши задачу: «Поезд проехал 400 км со скоростью 50 км/ч, а на обратном пути это расстояние он проехал в 2 раза быстрее. За сколько часов это расстояние проехал поезд на обратном пути?»

При проведении тестирования были получены следующие результаты (Таблица 4):
Таблица 4

№ Заданий, количество правильных ответов

Цель задания

Знание месяцев, их порядка и продолжительности

Определение декады

Знание продолжительности месяцев

Понятие високосного года

Определение промежутка времени между двумя соседними месяцами

Определение времени по часам

Умножение величины на число

Перевод одних единиц измерения в другие

Сравнение величин

Определение промежутка времени, сложение величин

Вычитание величин

Нахождение доли от числа

Деление величины на число

Определение промежутка времени

Нахождение времени по известному расстоянию и скорости движения объекта

По первому вопросу, наиболее простому, у подавляющего большинства учащихся были правильные ответы. Лишь у двух не было проставлено никакого ответа, т.к. они посчитали все ответы правильными, ошибочно приняв первый месяц в году - январь также за первый месяц зимнего сезона.
Наибольшее количество ошибок было допущено при ответе на второй вопрос. Детям было непонятно слово «декада». Хотя на занятиях данное понятие рассматривалось, но, в отличие от других, более ходовых понятий по теме, специального закрепления по нему не было, этим и объясняется, на наш взгляд, сравнительно большое количество ошибок по этому вопросу.
По третьему вопросу, также относящемуся к числу наиболее простых, у всех учащихся выявлены правильные ответы.
Конечно, это можно объяснить также и тем, что в вариантах ответов все месяцы с 30 днями, за исключением июня в варианте 2, проставлены только в одном варианте, что при прочих равных условиях облегчает учащимся ответ. Однако чтобы правильно ответить на данный вопрос, учащимся нужно знать не один месяц с 30 днями. Следовательно, данный вопрос изученной темы очень хорошо освоен детьми.
В ответах на четвертый вопрос определялось знание того, как соотносится протяженность февраля месяца в днях с периодичностью наступления високосного года. Большинство ответов - правильные, ошибки встречаются лишь единичные и не грубые. №3, №11 и №17 ошиблись, проставив ответ 2) вместо ответа 3), так как вели отсчет от 2004 г. включительно. Большинство правильных ответов объясняется тем, что особенности високосного года специально подробно разбирались на уроке в классе.
В ответах на пятый вопрос, как и в ответах на третий, ни одним учащимся не было допущено ошибки. То есть все учащиеся овладели практическим навыком переведения недель в дни и отсчёта их от конкретной даты, в том числе, с учетом количества дней в данном конкретном месяце.
В ответах на шестой вопрос, казалось бы, очень простой, некоторыми учащимися всё же допущены ошибки. Это объясняется тем, что многие дети в настоящее время пользуются электронными часами без стрелок. Хотя на уроке отрабатывались навыки по работе с часами с циферблатом со стрелками, и большинство детей ответили на данный вопрос правильно
По седьмому вопросу, у учащихся не выявлены затруднения, у всех - правильные ответы. Этот вопрос предполагает владение не только навыком правильного соотношения минут и секунд, но и операциями умножения, т.к. чтобы определить, сколько минут в двух часах, нужно количество минут, имеющееся для одного часа, умножить на два. Так как дети уже проходили тему «Умножение», это не вызвало у них затруднений. Более того, это свидетельствует о том, что все учащиеся овладели умением переводить часы в минуты.
Восьмой вопрос был подобен предыдущему, но здесь учащиеся должны были «пойти» от обратного и применить также полученный ранее навык деления. На прошедших до этого уроках по теме «Время» отрабатывались умения оперировать не десятками и сотнями, а шестью десятками - в соответствии с протяженностью основных временных отрезков, таких, как минута и час. Вопрос строился так, что выбор ответа был для учащихся несколько облегчен: все неверные ответы были результатом деления на десятки, что сразу было очевидно. В итоге у всех - правильные ответы. Таким образом, все учащиеся овладели умением переводить часы в минуты и минуты в секунды, и это главное, как бы базовое достижение по изучению временных представлений по данной программе.
В ответах на девятый вопрос выявлялись умения определять количественные соотношения при переводе часов в минуты и минут в секунды на уровне представления их в виде неравенств. Все учащиеся довольно легко указали неверное неравенство: 60 с > 60 мин. Что подтверждает эффективность усвоения темы.
В ответах на десятый вопрос выявлялись умения совершать арифметические действия с величиной «время» применительно к моделируемой ситуации. У всех детей - правильные ответы. Это очень хороший показатель, т.к. подобные операции детям не раз придется повторять в своей жизни в различных реальных ситуациях.
В ответах на одиннадцатый вопрос также выявлялись умения совершать арифметические действия с величиной «время», но уже без привязки к конкретной моделируемой ситуации. Чтобы правильно ответить на него дети должны были помнить об особенностях измерения времени и хорошо владеть навыками перевода часов в минуты, навыками арифметических действий, навыками умножения. Это более сложное задание, чем все предыдущие. Этим объясняется сравнительно большое количество допущенных ошибок.
В ответах на двенадцатый вопрос выявлялось понимание соотношения понятий «сутки» и «часы». Дети должны были количество часов в сутках - 24 - разделить на три (треть от целого). Правильный ответ «8» выявлен у подавляющего большинства учащихся.
В ответах на тринадцатый вопрос, в отличие от предыдущего, выявлялось не только понимание соотношения понятий «сутки» и «часы», но и умение производить арифметические действия с ними. У большинства учащихся - правильные ответы. Досадные ошибки встречаются лишь у некоторых учащихся. Следующие два вопроса построены как текстовые задачи.
В ответах на четырнадцатый вопрос выявлялось умение решать задачи только на определение величины «время». Многие учащиеся проставили правильный ответ: 13 мая 20 часов. Только один учащийся, видимо допустив досадную ошибку, написал: 13 мая 8 часов.
В ответах на последний вопрос, самый сложный из всех, выявлено приблизительно такое же количество ошибок, как во втором задании. При этом большинство ошибок допущено вследствие невнимательности учащихся при выполнении вычислений. А в целом выявлен правильный ход рассуждений при решении задачи с соотношением величин «скорость», «время», «расстояние». Таким образом, соответствующее умение в целом сформировано.
Следовательно, программный материал, предлагаемый на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России», способствует достаточно эффективному формированию временных представлений у учащихся.
Выводы
1. В программе «Школа России» формирование временных представлений осуществляется на протяжении всего времени обучения в начальной школе.
Проведение опытно-экспериментальной работы позволяет сделать вывод о том, что методика формирования временных представлений у младших школьников, разработанная авторским коллективом под руководством М.И.Моро интересна, доступна и обеспечивает необходимый уровень знаний.
Заключение
В ходе поставленных в исследовании задач были достигнуты следующие результаты:
1. Раскрыты теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе: понятие величины, виды величин, аксиомы положительных скалярных величин, особенности измерения величин.
Рассмотрены величины, изучаемые в начальной школе.
В начальных классах изучаются такие величины как цена, стоимость, масса, емкость, длина, время, скорость площадь и др. Эти величины включены в начальный курс с целью обеспечения практической надобности в измерении длины предметов, площади, массы; для лучшего усвоения нумерации и арифметических действий; для развития пространственных представлений. Большое внимание уделяется решению задач с пропорциональными величинами.
3. Определено содержание подготовки учащихся по теме «Время. Измерение времени» на уроках математике в начальной школе.
В 1 классе уточняются временные представления детей, проверяется умение использовать в речи слова: сначала, потом, до, после, раньше, позже; знание названий дней недели и их последовательности. Формируется умение определять время по часам с точностью до часа.
Во 2 классе учащиеся должны знать такие единицы времени как час, минута. Соотношение между ними. Уметь определять время по часам с точностью до минуты.
В 3 классе учащиеся должны знать единицы времени как год, месяц, сутки. Соотношения между ними. Уметь пользоваться календарем и часами.
В 4 классе учащиеся должны знать единицы времени: секунда, минута, час, сутки, месяц, год, век. Соотношения между ними. Уметь определять время с помощью табеля-календаря, и модели часов.
Описана методика формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России», эффективность которой подтверждена в ходе проведения опытно-экспериментальной работы.
Основные понятия темы: секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, декада, квартал, год, век.
В соответствии с программой «Школа России» знакомство с величиной «время» и единицами ее измерения начинает осуществляться со 2 класса. Однако, учитывая сложность процесса формирования временных представлений, необходимо с 1 класса вести подготовительную работу в этом направлении.
К концу 4 класса учащиеся должны знать:
Единицы названных величин, общепринятые их обозначения, соотношения между единицами каждой из этих величин;
связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние и др.;
должны уметь:
Узнавать время по часам;
выполнять арифметические действия с величинами (сложение и вычитание значений величин, умножение и деление значений величин на однозначное число);
применять к решению текстовых задач знание изученных связей между величинами.
Список использованной литературы
Время и мысль. Измерение времени // Полный энциклопедический справочник. - М.: Русское энциклопедическое товарищество, 2002. -480с.
Декарт Р. Сочинения в 2 тт.: Пер. с лат. и франц. Т. 1 - М.: Мысль, 1989. - 654 с; Т. 2 - М.: Мысль, 1994. - 633 с.
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах.- М., 2001.-327с.
Казарян В.П. Понятие времени в структуре научного знания. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. - 176 с.
Колмогоров А.Н. Величина // Математический энциклопедический словарь. - М.: Научное изд-во «Большая Российская энциклопедия», 1995. - 461с.
Колягин Ю.М. Актуальные проблемы развития отечественной школы // Начальная школа. -1990. -№ 5.
Математика в понятиях, определениях и терминах. В 2 т. Ч.1. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1978. - 320 с.
Методика преподавания математики в начальных классах: Вопр. частной методики: Учеб. пособие для студентов-заочников II -IV курсов фак. подгот. учителей нач. классов/ Н. Б. Истомина, Е. И. Мишарева, Р. Н. Шикова, Г. Г. Шмырева; Моск. гос. заоч. пед. ин-т.- М.: Просвещение, 1986.- 127 с.
Молчанов Ю.Б. Проблема времени в современной науке. - М.: Наука, 1990. - 136 с.
Моро М. И. Математика: Учеб. для 1 кл.: В 2 ч. / М. И. Моро, С. В. Степанова. Часть 1. - М.: АСТ, 2008.- 96с.
Моро М. И. Математика: Учеб. для 1 кл.: В 2 ч. / М. И. Моро, С. В. Степанова. Часть 2. - М.: АСТ, 2008.- 96с.
Моро М.И. Методическое пособие к учебнику «Математика. 1 класс» / М. И. Моро, Г. В. Бельтюкова, М. А. Бантова.- М.: АСТ, 2008. - 96 с.
Моро М. И. Математика: Учеб. для 2 кл. / М. И. Моро, Н. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова.- М.: АСТ, 2008. - 144с.
Моро М.И. Методическое пособие к учебнику «Математика. 2 класс» / М. И. Моро, Г. В. Бельтюкова, М. А. Бантова.- М.: АСТ, 2008. - 112с.
Моро М.И. Математика: Учеб. для 3 кл.: В 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. Часть 1.- М.: АСТ, 2008. -104с.
Моро М.И. Математика: Учеб. для 3 кл.: В 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. Часть 2.- М.: АСТ, 2008. -104с.
Моро М.И. Методическое пособие к учебнику «Математика. 3 класс» / М. И. Моро, Г. В. Бельтюкова, М. А. Бантова.- М.: АСТ, 2008. - 118с.
Моро М.И. Математика: Учеб. для 4 кл.: В 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. Часть 1.- М.: АСТ, 2008. -112с.
Моро М.И. Математика: Учеб. для 4 кл.: В 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. Часть 2.- М.: АСТ, 2008. -112с.
Моро М.И. Методическое пособие к учебнику «Математика. 4 класс» / М. И. Моро, Г. В. Бельтюкова, М. А. Бантова.- М.: АСТ, 2008. - 116с.
Моро М. И. «Тетрадь по математике для 1 класса начальной школы»: № 1, 2 / М. И. Моро, С. И. Волкова.- М.: АСТ, 2008.- 32 с.
Моро М. И. «Тетрадь по математике для 2 класса начальной школы»: № 1, 2 / М. И. Моро, С. И. Волкова. - М.: АСТ, 2008.- 38с.
Моро М. И. «Тетрадь по математике для 3 класса начальной школы»: № 1, 2 / М. И. Моро, С. И. Волкова. - М.: АСТ, 2008- 45с.
Моро М. И. «Тетрадь по математике для 4 класса начальной школы»: № 1, 2 / М. И. Моро, С. И. Волкова.- М.: АСТ, 2008.-34с.
Пипуныров В.Н. История часов с древнейших времен до наших дней. - М.: Наука, 1982. - 496с.
Поморцева С.В. Опорные лекции по математике (на правах рукописи).
Пышкало А.М., Стойлова Л. П. и др. Теоретические основы начального курса математики.- М.: Просвещение, 1974. -380с.
Фридман Л.М. Величины и числа. - М.: Просвещение, 2000.-270с.
Хасанов И.А. Время: природа, равномерность, измерение. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. - 304 с.
Холомкина А. И. Изучение мер времени // Начальная школа.- 1982.- № 3.
Царева С.Л. Величины в начальном обучении математике. Новосибирск: НПГУ, 2001.-348с.
Шикова Р.Н. К вопросу об изучении величин в начальной школе //Начальная школа.- 2006.- №5.-С.48-53.
Приложение
УРОК №1
«Единицы времени. Год» (№250 - 255)
Цели: ознакомить учащихся с новой единицей времени и систематизировать знания единичных отношений между годом и днями; совершенствовать вычислительные навыки.
Ход урока
I . Устный счет
1. Игра «Цепочки»:
2. Вычислите: 29*2 + 26 72: 3-17 19*2*5
37 + 42*2 63 + 100:4 8*2*25
3. Вставьте пропущенное число:
3 кг25 г = ... г 9м 4 дм = ... дм 1 т 8 ц = ... кг
85 т = ... ц 6 см 5 мм = ... мм 45мм = ... см... мм
4. Решите задачи:
В 5 банках 10 литров сока. Сколько литров сока в 72 таких
Карандаш стоит 3 руб., ручка в 3 раза дороже карандаша, а тетрадь - на 4 руб. дешевле ручки. Сколько стоит тетрадь? Сможет ли Наташа купить карандаш, ручку и тетрадь, если у нее 25 рублей?
II . Работа над новой темой
1. Изучение времен года.
А время движется вперёд, у нас продолжается учебный год.
Какая единица времени прозвучала в строчках? (Год)
Тема нашего урока: Единицы времени - год. Когда начинается и заканчивается учебный год у школьников? (Сентябрь - май).
Как долго он длится? (9месяцев)
А что такое год вообще? В этом нам поможет разобраться сказка В. Даля «Старик-годовик» и календарь. (Чтение сказки)
Перечислите времена года.
Назовите месяцы по порядку.
Сколько в месяце дней (суток)?
Какой месяц самый короткий?
Перечислите длинные месяцы.
Сколько дней в одной неделе?
Назовите дни недели?
Сосчитайте, сколько в году суток. Год, когда в феврале 29 суток, называют високосным. Предыдущий был в 2000 году. Когда будет следующий, если они повторяются через 4 года?
Ребусы.
В году 365 или 366 суток
Выполнение заданий № 250, №251.(с.51)
В 1992 г., в 1996 г., в 2000 г. и в 2004 г. в феврале было 29 суток и снова будет столько же, когда пройдёт еще 4 года. В каком году это будет?
Во время летних каникул Юра провёл июнь и июль у бабушки, потом на турбазе 2 смены по 12 дней. Сколько дней у Юры длились каникулы, если до занятий осталась ещё 1 неделя?
III
1. Составление выражения по тексту задачи № 252: к: 4-с: 6
За 6 м ситца уплатили с р., а за 4 м шерстяной ткани - k р. Составь выражение, которое обозначает, на сколько рублей дороже метр шерстяной ткани, чем метр ситца. (с.51)
2.Деление с остатком: № 253. (с.51)
253. Выполни деление с остатком и проверь решение: 70:8 80:30 748:7 641:6 738=5
3.№ 254 (самостоятельная работа). (с.51)
254. 23 000 + 25 7 050-7 000 69 875-800-70
000 + 350 6 080-6 000 43 546-40 000-40
37 000 + 480 8 090 - 8 040 94 648 - 3 000 -8
IV . Домашнее задание : № 255 (с.51)
255. (30 000+1000): 100 109 + 299·3 945:7·6
30 000+1000:100 (940-872)·8 843:3·2
V . Головоломка
Сложите фигуру из 16 палочек. Переложите 4 палочки так, чтобы получилось 4 квадрата.
VI . Итог урока
Назовите все месяцы по порядку. Сколько дней в марте? В сентябре? Сколько дней в году?
Дополнительный материал
Старик-годовик сказка-загадка)
Вышел старик-годовик. Стал он махать рукавом и пускать птиц. Каждая птица со своим особым именем. Махнул старик-годовик первый раз - и полетели первые три птицы. Повеял холод, мороз.
Махнул старик-годовик второй раз - и полетела вторая тройка. Снег стал таять, на полянах показались цветы.
Махнул старик-годовик третий раз - и полетела третья тройка. Стало жарко, душно, знойно. Крестьяне стали рожь жать.
Махнул старик- годовик четвёртый раз - и полетели ещё три птицы. Подул холодный ветер, посыпал частый дождь, залегли туманы.
А птицы были не простые. У каждой птицы по четыре крыла. В каждом крыле по семь перьев, каждое перо тоже со своим именем. Одна половина пера белая, другая - чёрная. Махнёт птица раз - станет светлым- светло, махнёт другой - станет темным-темно.
УРОК №2
«Время от 0 часов до 24 часов» (№ 256 - 264)
Цели: продолжить работу по определению времени по часам; научить детей определять по часам время суток и называть время по-разному; совершенствовать вычислительные навыки.
Оборудование: модель часов.
Ход урока
I . Устные упражнения
. Заполните таблицу:
Таблица

2. Вставьте пропущенное число:
9 м 4 дм = ... дм 820 ц = ... т
2 cм 2 мм = ... мм 385 кг = ... ц... кг... кг= 2 т 70 кг 1 мес. 6 сут. = ... сут.
3 т 4 ц 2 кг = ... кг 46 мес. = ... лет... мес.
3. Решите задачи:
Масса кабачка 6 кг. Сколько килограмм в половине кабачка?
1/5 часть ленты составляет 10 метров. Какой длины лента?
Сторона квадрата 8 дм. Чему равен его периметр?
II
Мы произносим слово время и глаза невольно смотрят на часы. Что же объединяет время? (Год, месяцы, недели, сутки, часы, минуты. У каждой единицы свой промежуток времени)
1. Поговорим о сутках. (Модель часов)
Сколько часов в сутках? (24)
На сколько равных частей разбит часовой циферблат? Сколько раз часовая стрелка обходит по кругу? На сколько частей разбиты сутки? (Утро, день, вечер, ночь).
Так почему кукушка дважды кукует (сообщает) одно и то же количество часов? (Варианты ответов)
Когда начинается отчёт времени новых суток?
Когда прекрасная принцесса превратилась в Золушку? Что произошло? (Закончились сутки)
2. Загадка:
Две сестрицы друг за другом
Пробегают круг за кругом.
Коротышка - только раз,
Та, что выше, - каждый час. (Стрелки часов).
3. Определение времени по рисункам часов.
Какое время показывают каждые часы? Можно ли определить по этим часам время суток: утро или вечер, день или ночь?
4. Чтение текста учебника, стр. 52.
Рассмотри рисунки на полях и скажи, какое время показывают каждые часы. Ты знаешь, что в сутках 24 часа. Но на циферблате часов стоят числа от 1 до 12. Поэтому, иногда приходится уточнять, например, «7 часов вечера» или «7 часов утра». Удобно вести счёт от начала суток до их конца. Начало суток - 0 часов. От 0 часов до 12 часов проходит первая половина суток. Через час после12 часов дня будет13 часов (или 1 час дня), ещё через час - 14 часов (или 2 часа дня) и т.д. Когда пройдёт 24 часа от начала суток, часы снова покажут 0 часов.
5. Выполнение заданий: № 256 - № 259 (устно); № 260 (письменно). (с.52)
256. В котором часу ты встаёшь? Когда ты идёшь школу? В котором часу ложишься спать?
257. Сколько времени прошло от начала суток, если сейчас 2 ч ночи? 9 ч утра? 3 ч дня?
258.Как сказать по-другому, сколько сейчас времени:
1) 16 ч, 20 ч, 21 ч 40 мин; 2) четверть пятого, половина первого, без четверти семь?
259. Какое время показывают электронные часы? Какое это время суток?
260. Вырази:
1) в часах: 2 сут, 10 сут 12 ч, 120 мин;
2) в сутках: 48 ч, 72 ч, 96 ч, 2 недели;
3) в месяцах: 3 года, 8 лет и 4 мес;
4) в годах: 24 мес, 60 мес, 84 мес, 96 мес.
III . Работа над пройденным материалом
1. Решение уравнений: № 261. (с.52)
261. Сравни: уравнения каждой пары; их решения:
х·10 = 45 000 х:100 = 4 000 х + 190 = 400
100·х= 45 000 4 000:х = 100 х-190 = 400
2. Решение задач: № 262, № 263. (с.52)
262. Из 1 ц свежих яблок получилось 16 кг сушёных. На сколько килограммов масса сушёных яблок меньше массы свежих?
263. Масса бутылки с маслом 600 г, масса пустой бутылки - 100 г. Сколько граммов масла можно на лить в 10 таких бутылок?
3. Решение примеров: № 264 (1,2 столбики) - можно предложить для самостоятельной работы. (с.52)
6 000: (20·5) · 6 (525-238) · 3
1000: (90: 9) ·100 (517-450) · 9
IV . Домашнее задание : № 264 (3 столбик). (с.52)
V . Итог урока
Что нового узнали о часах? Какое время суток обозначают часы (используется модель часов)?
УРОК №3
тема «Секунда» (№ 273 - 279)
Цели: ознакомить учащихся с новой для них единицей измерения времени; продолжить работу над сравнением единиц длины, массы, времени; совершенствовать умение решать уравнения, задачи. Оборудование: учителю - секундомер.
Ход урока
I . Устный счет
1. Игра «Молчанка» (Учащимся нужны цифры на карточках)
2. Игра "Узнайте имя сказочного героя!"
Решить уравнения (устно). Ответы расположить в порядке возрастания:
М 9 + b = 12 1 К п-27 = 8 1
И 8* т = 480 1 А 52: t = 13 1
С 40 -с = 12 1 Н к: 19 = 4 1
Т а-50 = 250 1 Р 4-х = 17 1
(Ответ: 3, 4, 5, 17, 18, 28, 35, 60, 76; Матроскин)
2.Определите по рисункам, который час:
4. Показать на модели часов, как будут стоять стрелки:
в4ч 15мин., в9ч 48мин., в 15 ч. 55мин., в22ч. 10мин.
II . Работа над новым материалом
1.Работа с часами.
Посмотрите на наши часы. Сколько у них стрелок? (3)
Назовите их. (Часовая, минутная и секундная).
Понаблюдаем, как они движутся. (Часовая почти не сдвинулась, передвинулась на одно деление, а секундная сделала целый круг)
Чему равно деление минутной стрелки? (1минута)
А что сделала за это время секундная стрелка? (Прошло 60 секунд)
Какой можно сделать вывод? (1 мин=60 секунд)
Чтение текста по учебнику, стр. 54.
Рассмотри рисунок 1.
На некоторых часах, кроме часовой и минутной стрелок, есть ещё маленькая стрелка, которая быстро движется по своему маленькому циферблату. Эта стрелка отсчитывает секунды. На рисунке 2 изображён секундомер.
На нём секунды отсчитывает большая стрелка, а маленькая - доли секунды. За 1 мин секундная стрелка делает полный оборот.
Какая еще стрелка есть на часах? Что она отсчитывает?
Что больше: минута или секунда? Сколько секунд в 1 минуте?
Называть числа по порядку в течение 10 секунд.
Знакомство с секундомером.
На уроках физкультуры вы бегаете на время, выполняете упражнения. Как называется прибор, которым пользуется учитель? (Секундомер)
Он тоже похож на часы, но его циферблат рассчитан на 1 минуту, то есть на сколько секунд? И секундную стрелку можно остановить. (Показать детям секундомер.)
Выполнение заданий: № 273 (устно); № 274 (письменно). (с.54)
На соревнованиях спортсмен пробежал дистанцию 800 м за 1 мин 45 с. Сколько это секунд?

) в секундах: 1 мин 30 с, 1 мин 50 с;
) в метрах: 24 км, 300 см, 65 000 мм;
) в килограммах: 9 т, 2 т 056 кг, 8 000 г, 3 000 г, 6 ц 05 кг, 73 ц 50 кг.
Решение задачи № 275. (с.54)
Кинокамера делает 32 снимка за 2 с. Сколько снимков сделает эта кинокамера за 10 с?
III . Работа над пройденным материалом
1. Сравнение величин: № 276.(с.54)
Поставь знак > или <, чтобы получились верные неравенства:
ч * 80 мин 9 м 3 дм * 903 дм
а 50 м2*700 м2 8 ц*740 кг
Задача № 277: (с.54)
В детский сад привезли 10 ящиков яблок, по 9 в каждом, и 8 одинаковых по массе ящиков слив. Всего привезли 170 кг фруктов. Сколько килограммов слив было в одном ящике? Составь и реши задачу, обратную данной.

) 9 * 10 = 90 (кг) - яблок привезли в детсад;
) 170-90 = 80 (кг) - слив привезли в детсад;
) 80: 8 = 19 (кг) -слив в одном ящике
Ответ: 10 килограммов.
Решение уравнений: № 278 (предложить для самостоятельной работы). (с.54)
Реши уравнения:
007 - х= 20 000 х+ 200 = 3 200
х- 900 =1000 300 + х=5 400
IV . Домашнее задание : к № 277 (обр. задача). Примеры № 279. (с.54)
.(3 000 + 240) : 10 812-398*2 99:11*(3*3)
(5 050-50)*100 669 + 425:5 72: (12*6)*4
V . Итог урока
Назовите единицы времени. Какая единица времени самая маленькая? Что можно измерить в секундах?
УРОК №4
тема «Единицы времени. Век» (№ 280 - 287)
Цели: ознакомить учащихся с новой единицей измерения времени векам; закреплять знания величин; повторить связь между величинами цена, количество, стоимость.
Ход урока
I . Самостоятельная работа
Вариант I
6 150*4 150-75 207*2
512-8 250*2 220-8 405*2
2) Сравните числа и поставьте знак >, < или =:
т 4ц... 2 т 400 кг 7 дм 6 см... 7 дм 80 см Вариант II
) Выполните действия (устно), в тетради запишите только ответы:
*10 750- 560 990:3 37- 29
*2 44 + 38 72:3 540-8
) Сравните числа и поставьте знак >, < или =:
см 4 мм... 3 см 9 км 040 м... 9 км 009м
Проверка: «Проверьте себя»:
а) Ответы первого столбика: 305, 504, 75, 212;
б) Ответы второго столбика: 600, 500, 414, 810;
в) ответы третьего столбика: 950, 320, 330, 24;
г) ответы четвертого столбика: 190, 82, 8, 532.
Используя сигнальные карточки со знаками, проверьте выполнение заданий на сравнение чисел.
II . Работа над новым материалом
. Игра «Который час?»
Сделал еж в подарок белке
Очень странные часы:
Цифр нет, и только стрелки
Растопырили усы.
Все равно довольна белка,
Вот что значит острый глаз!
Ну а ты, скажи, сумел бы
Узнавать, который час?
2. Задание с моделью часов.
Как стоят стрелки в 12 часов?
На сколько передвинется часовая стрелка, если минутная сделает 3 полных оборота? Как будут расположены стрелки?
Какой угол - прямой, острый или тупой - образуют стрелки часов, если сейчас: а) 2 ч; б) 4 ч; в) 5 ч; г) 7 ч; д) 11 ч; е) 9 ч?
3. Знакомство с новой единицей времени.
Назовите в порядке возрастания знакомые вам единицы времени.
(Ответы детей)
Существует ещё одна крупная единица времени, в народе её называют «столетие».
Как вы думаете, сколько лет она объединяют? (100лет).
Ещё её называют век. Чему равен 1 век? (100годам).
Век - более крупная единица измерения времени, чем год (Век -100 лет). Веками измеряются длительные периоды в истории стран, городов, жизнь некоторых деревьев и животных.
А в каком веке мы с вами живём?
№ 280: (с.55)
Рассмотри чертеж. Века (столетия) изображены отрезками на числовом луче. Найди точку, показывающую конец четвёртого века, восемнадцатого века, двадцатого века.
Чертеж позволяет находить отрезки, обозначающие: 1 век 4 века, 20 веков и т.п.
На форзаце дана шкала XX века с иллюстрациями семьи и отмеченными точками, соответствующими году рождения каждого члена семьи. (Важно, чтобы дети поняли следующее: XX век - это значит, что прошло 19 веков и идет следующая, двадцатая сотня лет).
Какие годы находятся между черточками 19 век и 20 век?
Какой сейчас год?
Сколько веков уже прошло?
К какому веку относится эта дата?
Выполнение задания по учебнику: № 281 - № 284. (с.55)
Сколько лет в 3 веках? в 10 веках? в 19 веках? Сколько веков составляют 600 лет? 1 100 лет? 1 700 лет? 2 000 лет?
Москва основана в 1147 году. В каком веке она основана?
А. С. Пушкин родился в 1799 году, а умер в 1837 году. В каком веке он родился и в каком умер?
1) Рассмотри на полях часть ленты времени, относящуюся к двадцатому веку, и узнай, на сколько лет бабушка моложе дедушки, папа старше мамы, сестрёнка моложе брата. 2) Используя тот же рисунок, покажи, какой сейчас год; какой был год, когда ты родился; когда ты поступил в школу.
III . Работа над пройденным материалом
Построение прямоугольника и нахождение его площади и периметра: № 285. (с.55)
Начерти прямоугольник со сторонами 1 дм и 1 см. Найди его площадь и периметр.
Заполните таблицу:
Таблица
Объясните, как можно узнать цену (количество, стоимость), если известны две другие величины?
Решение примеров: № 287 (1). (с.55)
1) (940 + 50) :10- 86 *0
(600 675- 675) :1 000:10
IV . Домашнее задание: № 287 (2). (с.55)
) 14 800:100 + 300
(705 487-5 487) :1 000*10
V . Итог урока
Какая есть крупная единица времени? Сколько лет в одном веке? Когда родился наш город? Какой это век?
УРОК №5
тема «Таблица единиц времени» (№ 288 - 292)
Цель: обобщить знания единиц измерения времени, составить таблицу соотношений между единицами времени.
Ход урока
I . Устные упражнения
Заполните таблицу:
Таблица

2. Выразите в метрах:
км, 2 км 569м, 7 км 207 м, 9 км 045 м.
Выразите в килограммах:

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Изучение в курсе математики начальной школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того, знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.

По традиционной программе в конце 4 класса дети должны:

Знать таблицы единиц величин, принятые обозначения этих единиц и уметь применять эти знания в практике измерения и при решении задач,

Знать взаимосвязь между такими величинами, как цена, количество, стоимость товара; скорость, время, расстояние, уметь применять эти знания к решению текстовых задач,

Уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника (квадрата).

ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЕЁ ИЗМЕРЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Одна из особенностей окружающей нас действительности – это ее многообразное и беспрерывное изменение. Например, меняется погода, возраст людей, условия их жизни. Чтобы дать научное обоснование этим процессам, нужно знать их определение, свойства, качества, такие. Как время, площадь, масса… Эти и другие свойства называют величинами.

В соответствии с определением Н.Б. Истоминой:

Во-первых, величина - это некоторое свойство предметов.

Во-вторых, величина - это такое свойство предметов, которое позволяет их сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих этим свойством в равной мере.

В-третьих, величина - это такое свойство, которое позволяет сравнивать предметы и устанавливать, какой из них обладает данным свойством в большей мере.

Величины бывают однородные и разнородные. Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами . Например, длина стола и длина комнаты - это однородные величины. Разнородные величины выражают разные свойства объектов (например, длина и площадь).

Однородные величины обладают рядом свойств .

1) Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше», и для любых величин справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b . Например, если a - длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС, то длина отрезка АС есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

3) Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b=x * а, величину b называют произведением величины а на число x . Например, если a – длину отрезка АВ, умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС.

4) Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с , что а=b+c. Например, если а - длина отрезка АС, b - длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b называется такое неотрицательное действительное число х , что

а= х*b. Чаще это число называют отношением величин а и b и записывают в таком виде:

6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2, площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.

Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей - другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.

Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e , то в результате измерения величины а находят такое действительное число x , что а=x e. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).

Согласно определению, любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7*1 кг, 12 см =12*1 см, 15ч =15*1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как 5/12 ч = 5/12*60 мин = (5/12*60) мин = 25 мин.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами . Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины . Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие, численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

Общая характеристика методики изучения величин младшими школьниками

Общая характеристика методики изучения длины младшими школьниками

V этап. Знакомство с новыми единицами измерения величин в тесной связи с изучением нумерации по концентрам. Перевод одних единиц нумерации в другие.

V этап. Исторические сведения о величинах и их измерении..

Читайте также:

Творожный торт слезы ангела

Хе из щуки в банке рецепт

Насколько калорийны котлеты

Курица тушеная с овощами в собственном соку

Срок хранения сыра. Хранение сыров

Срок годности различных сортов сыра по госту

Расстояние (S)	Скорость (V)
Работа (A)	Производительность (ν)
Стоимость (C)		Количество товара (n)
Количество квартир в доме (K)	Количество квартир на одном этаже (k)	Количество этажей (n)
Объем бассейна (V)	Скорость наполнения бассейна (a)	Время наполнения (t)
Площадь прямоугольника (S)		Ширина (b)
Количество мест в театре (T)	Количество мест в ряду (t)	Количество рядов (n)
Масса заготовленного варенья (M)	Масса варенья в одной банке (m)	Количество банок (n)
Расход ткани на платье (P)	Расход ткани на одно платье (p)	Количество платьев (n)

	Тип упражнений	Кол-во по классам
	Сравнение временных промежутков ощущением	1 класс: 4 2-4 класс: 0
	Измерение времени по календарю	1 класс: 10; 2 класс: 25; 3 класс: 29 4 класс: 4
	Измерение времени по часам	1 класс: 0; 2 класс: 10; 3 класс: 24 4 класс: 5
	Перевод одних единиц измерения времени в другие	1 класс: 0; 2 класс: 0; 3 класс: 5 4 класс: 25
	Сравнение величин, выраженных в единицах одного и различных наименований	1 класс: 30; 2 класс: 19; 3 класс: 7 4 класс: 7
	Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного и различных наименований	1 класс: 33; 2 класс: 77; 3 класс: 22 4 класс: 43
	Умножение и деление величины на число	1 класс: 0; 2 класс: 55; 3 класс: 149 4 класс: 355

		Варианты ответа
	Укажи ложное высказывание: 1) «В году 12 месяцев»; 2) «Февраль - самый короткий месяц в году»; 3) «Январь - первый месяц зимы»; 4) «Июль - летний месяц»	1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
	Сколько дней в декаде?	1) 5; 2) 7; 3) 10; 4) 30.
	Укажи месяцы, в которых 30 дней.	1) август, март, май, январь; 2) февраль, май, июнь, июль; 3) апрель, июнь, сентябрь, ноябрь; 4) март, май, июль.
	В 2004 г. в феврале было 29 суток. В каком году это еще будет?	1) 2006; 2) 2007; 3) 2008; 4) 2009.
		1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5.
	Сколько полных оборотов сделает минутная стрелка за 1 час?	1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
	Сколько секунд в двух минутах?	1) 60; 2) 100; 3) 120; 4) 200.
	Укажи верное равенство	1) 333мин=3ч33мин; 2) 240 мин = 4 ч; 3) 100 мин = 10 ч; 4) 60 мин = 600 с
	Укажи неверное неравенство	1) 2 ч > 60 мин; 2) 180 мин < 7 ч; 3) 60 с > 60 мин; 4) 300 мин< 6 ч
	Спектакль начался в 13 ч и продолжался 3 ч 15 мин. Когда закончился этот спектакль?	1) в 16 ч 15 мин; 2) в 10 ч 15 мин; 3) в 15 ч 16 мин; 4) другой ответ.
	Найди значение выражения: 5 ч 20 мин - 2 ч 40 мин	1) 280 мин; 2) 760 мин; 3) 320 мин; 4) 160 мин
	Чему равна треть суток?	1) 4 ч; 2) 6 ч; 3) 8 ч; 4) 12 ч
	Часы показывают 8 ч утра. Во сколько раз оставшаяся часть суток больше прошедшей?
	Реши задачу: «12 мая мама сказала, что поезд, на котором приедет папа, прибудет в Москву через сутки и 3 ч. Петя посмотрел на часы - было 17 ч. Когда и в котором часу прибывает этот поезд?»
	Реши задачу: «Поезд проехал 400 км со скоростью 50 км/ч, а на обратном пути это расстояние он проехал в 2 раза быстрее. За сколько часов это расстояние проехал поезд на обратном пути?»

Общая характеристика методики изучения величин младшими школьниками

Общая характеристика методики изучения длины младшими школьниками

V этап. Знакомство с новыми единицами измерения величин в тесной связи с изучением нумерации по концентрам. Перевод одних единиц нумерации в другие.

V этап. Исторические сведения о величинах и их измерении..

Не пропустите:

Читайте также: